Bài toán tìm tham số m để Hàm Số Có 3 điểm Cực Trị là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông và các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức nền tảng, phương pháp giải và các ví dụ minh họa chi tiết để bạn nắm vững dạng toán này.
Điều kiện để hàm số bậc 4 trùng phương có 3 điểm cực trị
Xét hàm số trùng phương có dạng:
y = ax4 + bx2 + c (với a ≠ 0)
Để hàm số này có 3 điểm cực trị, đạo hàm y’ của nó phải có 3 nghiệm phân biệt. Ta có:
y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)
Để y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt, phương trình 2ax2 + b = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
ab < 0
Nói cách khác:
- Nếu a > 0 thì b < 0: Hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại.
- Nếu a < 0 thì b > 0: Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
Các bước giải bài toán tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị
- Tính đạo hàm y’ của hàm số.
- Tìm điều kiện để phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Điều này thường dẫn đến việc xét dấu của tích ab (trong trường hợp hàm trùng phương).
- Giải bất phương trình hoặc hệ bất phương trình để tìm ra khoảng giá trị của m.
- Kiểm tra lại điều kiện (nếu có) để đảm bảo giá trị m tìm được thỏa mãn bài toán.
Bài tập vận dụng và lời giải chi tiết
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị
Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = -2x4 + (3m – 6)x2 + 3m – 5 có 3 điểm cực trị.
Lời giải:
Ta có a = -2 và b = 3m – 6.
Để hàm số có 3 điểm cực trị, ta cần ab < 0:
-2(3m – 6) < 0
<=> 3m – 6 > 0
<=> m > 2
Vậy, m > 2 là điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 2: Xác định giá trị m để hàm số có hai cực đại và một cực tiểu
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = (m – 1)x4 + 2x2 + 3 sẽ có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu?
Lời giải:
Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi a < 0 và b > 0. Trong trường hợp này:
a = m – 1 và b = 2.
Vậy, ta cần:
m – 1 < 0
<=> m < 1
Vậy m < 1 là điều kiện cần tìm.
Ví dụ 3: Bài tập trắc nghiệm về tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị
Gọi P là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số y = 2x4 + (m2 – 3m – 4)x2 + m – 1 có 3 điểm cực trị. Tính số tập con của tập P.
Lời giải:
Ta có a = 2 và b = m2 – 3m – 4.
Để hàm số có 3 điểm cực trị, ta cần ab < 0:
2(m2 – 3m – 4) < 0
<=> m2 – 3m – 4 < 0
<=> (m – 4)(m + 1) < 0
<=> -1 < m < 4
Vì m là số nguyên, nên m ∈ {0; 1; 2; 3}.
Vậy, tập P = {0; 1; 2; 3} có 4 phần tử. Số tập con của P là 24 = 16.
Đáp án đúng: B. 16
Ví dụ 4: Tìm khoảng giá trị của m để hàm số có 3 điểm cực trị
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m – 1)x4 + (m2 + 3m + 2)x2 + 1 có 3 điểm cực trị.
Lời giải:
Ta có a = m – 1 và b = m2 + 3m + 2.
Để hàm số có 3 điểm cực trị, ta cần ab < 0:
(m – 1)(m2 + 3m + 2) < 0
<=> (m – 1)(m + 1)(m + 2) < 0
Xét dấu tam thức, ta có:
- m < -2: (m – 1) < 0, (m + 1) < 0, (m + 2) < 0 => (m – 1)(m + 1)(m + 2) < 0
- -2 < m < -1: (m – 1) < 0, (m + 1) < 0, (m + 2) > 0 => (m – 1)(m + 1)(m + 2) > 0
- -1 < m < 1: (m – 1) < 0, (m + 1) > 0, (m + 2) > 0 => (m – 1)(m + 1)(m + 2) < 0
- m > 1: (m – 1) > 0, (m + 1) > 0, (m + 2) > 0 => (m – 1)(m + 1)(m + 2) > 0
Vậy, để hàm số có 3 điểm cực trị thì m < -2 hoặc -1 < m < 1.
Những ví dụ trên đây minh họa các bước giải và các trường hợp thường gặp của bài toán “tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị”. Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết dạng toán này trong các bài kiểm tra và kỳ thi.
