Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Phương pháp quy nạp toán học là công cụ mạnh mẽ để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp số tự nhiên khác không (N*).
Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp, ta thực hiện hai bước sau:
- Bước 1 (Bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 (hoặc một giá trị n = p nào đó nếu mệnh đề đúng với mọi n ≥ p).
- Bước 2 (Bước quy nạp): Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên k bất kỳ, k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Dãy Số
I. Định Nghĩa
-
Định nghĩa dãy số: Dãy số là một hàm số u xác định trên tập hợp số nguyên dương N*.
- Ký hiệu: u: N* → R, n → u(n)
- Dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un,…
- Trong đó: u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n (số hạng tổng quát).
-
Định nghĩa dãy số hữu hạn: Dãy số hữu hạn là một hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m} với m ∈ N*.
- Dạng khai triển: u1, u2, u3, …, un
- Trong đó: u1 là số hạng đầu, un là số hạng cuối.
II. Các Cách Cho Một Dãy Số
- Cho bằng công thức của số hạng tổng quát: Ví dụ, un = n^2 + 1.
- Cho bằng phương pháp mô tả: Ví dụ, dãy số các số nguyên tố.
- Cho bằng phương pháp truy hồi:
- Cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu).
- Cho hệ thức truy hồi, biểu thị số hạng thứ n qua các số hạng đứng trước nó. Ví dụ: u1 = 1, un+1 = un + n.
III. Dãy Số Tăng, Dãy Số Giảm và Dãy Số Bị Chặn
-
Dãy số tăng, dãy số giảm:
- Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ N*.
- Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ N*.
- Lưu ý: Không phải dãy số nào cũng tăng hoặc giảm.
-
Dãy số bị chặn:
- Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un ≤ M, ∀ n ∈ N*.
- Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un ≥ m, ∀ n ∈ N*.
- Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m ≤ un ≤ M, ∀ n ∈ N*.
Cấp Số Cộng
I. Định Nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi: un+1 = un + d với n ∈ N*.
Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
II. Số Hạng Tổng Quát
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:
un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2
III. Tính Chất Các Số Hạng Của Cấp Số Cộng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó.
Ảnh minh họa công thức tính số hạng trung bình của cấp số cộng, cho thấy mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng trung bình cộng của hai số hạng kề nó.
IV. Tổng n Số Hạng Đầu Của Một Cấp Số Cộng
Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+un. Khi đó:
Ảnh chụp công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng, sử dụng số hạng đầu và số hạng cuối.
Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết lại là:
Ảnh minh họa công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng, sử dụng số hạng đầu và công sai, giúp tính toán nhanh chóng và chính xác.
Cấp Số Nhân
I. Định Nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un+1 = unq với n ∈ N*.
Đặc biệt:
- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…, 0,…
- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,…
- Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0…
II. Số Hạng Tổng Quát
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:
un = u1.qn – 1 với n ≥ 2
III. Tính Chất Các Số Hạng Của Cấp Số Nhân
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó.
uk2 = uk – 1.uk + 1 với k ≥ 2
IV. Tổng n Số Hạng Đầu Tiên Của Một Cấp Số Nhân
Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un. Khi đó:
Ảnh chụp công thức tổng quát tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân khi công bội khác 1, giúp học sinh dễ dàng áp dụng vào giải bài tập.
Lưu ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1,…, u1,… khi đó Sn = nu1.
