Dãy Số Bị Chặn: Phương Pháp Xét và Bài Tập Minh Họa

Trong toán học, khái niệm Dãy Số Bị Chặn đóng vai trò quan trọng, đặc biệt trong giải tích và các ứng dụng liên quan. Một dãy số được gọi là bị chặn nếu tất cả các số hạng của nó đều nằm trong một khoảng giới hạn. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp xét tính bị chặn của dãy số, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan.

A. Phương Pháp Xét Tính Bị Chặn của Dãy Số

Có nhiều phương pháp để xét tính bị chặn của một dãy số, tùy thuộc vào cách dãy số đó được cho. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:

1. Dãy số cho bởi số hạng tổng quát:

   • Nếu số hạng tổng quát $u_n$ cho dưới dạng tường minh (ví dụ: $u_n = f(n)$), ta có thể:
     • Thu gọn biểu thức: Đơn giản hóa biểu thức $u_n$ để dễ dàng đánh giá.
     • Sử dụng bất đẳng thức: Áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc (Cauchy, Bunhiacopxki,…) để tìm chặn trên và chặn dưới.
     • Xét hàm số: Nếu $f(n)$ là hàm số quen thuộc, ta có thể khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, từ đó suy ra chặn trên và chặn dưới.
   • Ta cũng có thể chặn tổng bằng một tổng khác mà ta biết chặn trên, chặn dưới.

2. Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi:

   • Nếu dãy số $(u_n)$ được cho bởi một hệ thức truy hồi (ví dụ: $u1 = a, u{n+1} = f(u_n)$), ta có thể:
     • Dự đoán chặn: Dự đoán chặn trên và chặn dưới của dãy số.
     • Chứng minh bằng quy nạp: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh dự đoán.
     • Xét tính đơn điệu: Chứng minh dãy số đơn điệu (tăng hoặc giảm), sau đó dựa vào số hạng đầu tiên để tìm chặn.
     • Giải bất phương trình: Xét hiệu $u_{n+1} – u_n$ để xác định tính đơn điệu và tìm chặn.

3. Dựa vào tính chất của hàm số:

   • Nếu số hạng tổng quát được cho bởi một công thức liên quan đến hàm số, ta có thể sử dụng các tính chất của hàm số (tính liên tục, tính đơn điệu,…) để đánh giá.

B. Ví dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = frac{n + 1}{n^2 + 1}$

Hướng dẫn giải:

• Ta có: $n^2 + 1 > 0$ và $n + 1 > 0$ với mọi $n in mathbb{N}^$. Do đó, $u_n > 0$ với mọi $n in mathbb{N}^$. Vậy dãy số bị chặn dưới bởi 0.
• Lại có: $n^2 + 1 > n$ (với $n ge 1$) => $u_n = frac{n+1}{n^2+1} < frac{n+1}{n} = 1 + frac{1}{n} le 2$ với $n in mathbb{N}^*$
  => Dãy (un) bị chặn trên bởi 2.
• => dãy số $(u_n)$ bị chặn.

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ biết $u_n = (-1)^n$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $-1 le (-1)^n le 1$

=> $-1 le u_n le 1$ với mọi n nên $(u_n)$ là dãy số bị chặn.

Ví dụ 3: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ biết $u_n = 4n – 2$

Hướng dẫn giải:

Ta có n ≥ 1 nên $4n – 2 ≥ 2$

=> dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi 2 và dãy $(u_n)$ không bị chặn trên.

Ví dụ 4: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u1 = 1, u{n+1} = sqrt{2 + u_n}$. Chứng minh dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi 2.

Hướng dẫn giải:

• Ta chứng minh $u_n < 2$ với mọi $n$ bằng quy nạp.
• Với $n = 1$, ta có $u_1 = 1 < 2$.
• Giả sử $uk < 2$ với $k ge 1$. Khi đó, $u{k+1} = sqrt{2 + u_k} < sqrt{2 + 2} = 2$.
• Vậy, $u_n < 2$ với mọi $n$. Do đó, dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi 2.

Ví dụ 5: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u1 = 1, u{n+1} = frac{1}{2}(u_n + frac{2}{u_n})$. Chứng minh dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

• Ta chứng minh $u_n ge sqrt{2}$ với mọi $n$ bằng quy nạp.
• Với $n = 1$, ta có $u_1 = 1$. Ta cần kiểm tra $u_2 = frac{1}{2}(1 + frac{2}{1}) = frac{3}{2} ge sqrt{2}$ (đúng).
• Giả sử $uk ge sqrt{2}$ với $k ge 1$. Khi đó, $u{k+1} = frac{1}{2}(u_k + frac{2}{u_k}) ge frac{1}{2}(2sqrt{u_k cdot frac{2}{u_k}}) = sqrt{2}$ (theo bất đẳng thức Cauchy).
• Vậy, $u_n ge sqrt{2}$ với mọi $n$. Do đó, dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $sqrt{2}$.

C. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a. $u_n = n^2 + n – 1$
b. $u_n = -n^2 + 1$
c. $u_n = frac{1}{n}$
d. $u_n = sin(n)$

Bài 2. Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$, với $u_n = 2^n – 1$.

Bài 3. Xét tính bị chặn của dãy số sau: $u_n = frac{1}{1cdot3} + frac{1}{2cdot4} + … + frac{1}{n(n+2)}$.

Bài 4. Xét tính bị chặn của dãy số sau: $u_n = frac{2n+1}{n+2}$.

Bài 5. Xét tính bị chặn của dãy số sau:

a. $(a_n)$ với $a_n = sin^2(frac{npi}{3}) + cos(frac{npi}{4})$;
b. $(u_n)$ với $u_n = frac{6n-4}{n+2}$.

Kết luận

Việc xét tính dãy số bị chặn là một kỹ năng quan trọng trong giải toán, đặc biệt là trong chương trình Toán lớp 11 và các kỳ thi quan trọng. Bằng cách nắm vững các phương pháp và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số và ứng dụng chúng vào các lĩnh vực khác của toán học.