1. So sánh độ dài đường kính và dây cung
Đường kính là dây cung đặc biệt của đường tròn. Trong tất cả các dây cung của một đường tròn, đường kính có độ dài lớn nhất. Điều này xuất phát từ định nghĩa: đường kính là dây cung đi qua tâm của đường tròn.
Định lý:
Trong một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Cho đường tròn (O; R). Với A, B là hai điểm bất kỳ nằm trên đường tròn (O), ta luôn có: AB ≤ 2R
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung
Mối quan hệ giữa đường kính và dây cung khi chúng vuông góc với nhau là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học phẳng.
Định lý 1:
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó.
Cho đường tròn (O; R) có:
- CD là đường kính
- AB là dây cung
- CD ⊥ AB tại H
Suy ra: H là trung điểm của AB.
Định lý 2:
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung đó.
Cho đường tròn (O; R) có:
- CD là đường kính
- AB là dây cung (O không thuộc AB)
- H là trung điểm của AB và H thuộc CD
Suy ra: CD ⊥ AB tại H.
3. Các dạng toán thường gặp
Các bài toán liên quan đến đường kính và dây cung thường xoay quanh việc tính toán độ dài đoạn thẳng và các yếu tố liên quan.
Phương pháp giải:
Để giải quyết các bài toán dạng này, chúng ta thường sử dụng các kiến thức sau:
- Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung: Áp dụng các định lý 1 và 2 để suy ra các mối quan hệ về trung điểm và tính vuông góc.
- Định lý Pytago: Sử dụng định lý Pytago trong các tam giác vuông được tạo thành để tính độ dài các cạnh.
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Áp dụng các hệ thức lượng để tìm ra mối liên hệ giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
- Tính chất của tam giác cân, tam giác đều: Nếu tam giác tạo bởi tâm đường tròn và hai đầu mút dây cung là tam giác cân hoặc đều, ta có thể sử dụng các tính chất của chúng để giải bài toán.
- Sử dụng các tính chất của góc nội tiếp, góc ở tâm: Kết hợp với các kiến thức về góc để tìm ra các mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán.
Ví dụ, khi một bài toán cho biết đường kính vuông góc với dây cung, ta có thể suy ra trung điểm của dây cung đó. Hoặc ngược lại, nếu biết đường kính đi qua trung điểm của dây cung (không đi qua tâm), ta có thể suy ra chúng vuông góc với nhau. Sau đó, kết hợp với định lý Pytago hoặc các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm ra các độ dài cần thiết.
