Dấu Tam Thức Bậc 2: Lý Thuyết, Bài Tập và Ứng Dụng (Toán Lớp 10)

1. Định Nghĩa và Khái Niệm Cơ Bản

Tam thức bậc hai là một biểu thức đại số có dạng chuẩn: ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các hệ số (số thực), và điều kiện bắt buộc là a ≠ 0. Biến số x có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào.

Alt: Tam thức bậc hai có dạng ax bình phương cộng bx cộng c, với a khác không.

Ví dụ:

• f(x) = x² - 4x + 5 là một tam thức bậc hai.
• f(x) = x²(2x - 7) không phải là tam thức bậc hai (vì sau khi khai triển sẽ có bậc 3).

Nghiệm của tam thức bậc hai: Nghiệm của tam thức bậc hai ax² + bx + c là các giá trị của x sao cho ax² + bx + c = 0.

Biệt thức (Δ): Δ = b² - 4ac là một đại lượng quan trọng để xác định số nghiệm và dấu của tam thức bậc hai.

2. Định Lý Về Dấu của Tam Thức Bậc Hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c với a ≠ 0 và biệt thức Δ = b² - 4ac. Dấu của f(x) phụ thuộc vào dấu của a và giá trị của Δ như sau:

• Trường hợp 1: Δ < 0

  • f(x) luôn cùng dấu với a với mọi x ∈ R. Nói cách khác, nếu a > 0 thì f(x) > 0 với mọi x, và nếu a < 0 thì f(x) < 0 với mọi x.

• Trường hợp 2: Δ = 0

  • f(x) có nghiệm kép x = -b/2a.
  • f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ -b/2a. Tại x = -b/2a, f(x) = 0.

• Trường hợp 3: Δ > 0

  • f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (giả sử x₁ < x₂).
  • f(x) cùng dấu với a khi x ∈ (-∞; x₁) ∪ (x₂; +∞).
  • f(x) trái dấu với a khi x ∈ (x₁; x₂).

Quy tắc “Trong trái, ngoài cùng”: Khi Δ > 0, trong khoảng giữa hai nghiệm, f(x) trái dấu với a, và ngoài khoảng hai nghiệm, f(x) cùng dấu với a.

3. Bảng Xét Dấu Tam Thức Bậc Hai

Bảng xét dấu là công cụ hữu ích để xác định dấu của tam thức bậc hai trên các khoảng giá trị khác nhau của x.

Alt: Bảng xét dấu tam thức bậc hai với delta âm, delta bằng không và delta dương.

Các bước lập bảng xét dấu:

1. Tính Δ và tìm nghiệm của tam thức (nếu có).
2. Sắp xếp các nghiệm trên trục số.
3. Xác định dấu của f(x) trên từng khoảng dựa vào dấu của a và vị trí của các nghiệm.

4. Ứng Dụng Dấu của Tam Thức Bậc Hai

Dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng quan trọng, đặc biệt trong việc giải bất phương trình và xét sự biến thiên của hàm số.

Giải bất phương trình bậc hai: Dựa vào bảng xét dấu, ta có thể dễ dàng xác định các khoảng giá trị của x mà tại đó tam thức bậc hai thỏa mãn một điều kiện cho trước (ví dụ: f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0).

Điều kiện để tam thức luôn dương hoặc luôn âm:

• ax² + bx + c > 0, ∀ x ∈ R ⇔ { a > 0; Δ < 0 }
• ax² + bx + c ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ { a > 0; Δ ≤ 0 }
• ax² + bx + c < 0, ∀ x ∈ R ⇔ { a < 0; Δ < 0 }
• ax² + bx + c ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ { a < 0; Δ ≤ 0 }

5. Bài Tập Ví Dụ và Lời Giải Chi Tiết

Ví dụ 1: Xét dấu tam thức bậc hai f(x) = 3x² + 2x - 5.

Giải:

• Δ = 2² - 4 * 3 * (-5) = 64 > 0.
• Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt: x₁ = -5/3 và x₂ = 1.
• a = 3 > 0.
• Bảng xét dấu:

• Kết luận:
  • f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; -5/3) ∪ (1; +∞).
  • f(x) < 0 khi x ∈ (-5/3; 1).
  • f(x) = 0 khi x = -5/3 hoặc x = 1.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình -3x² + 7x - 4 < 0.

Giải:

• Đặt f(x) = -3x² + 7x - 4.
• f(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 4/3.
• a = -3 < 0.
• Bảng xét dấu:

Alt: Bảng xét dấu tam thức bậc hai -3x^2 + 7x – 4.

• Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (-∞; 1) ∪ (4/3; +∞).

6. Bài Tập Tự Luyện

1. Tìm m để bất phương trình x² - 2mx + m + 12 < 0 vô nghiệm.
2. Tìm m để bất phương trình -2x² - mx + m² - 1 ≥ 0 có nghiệm duy nhất.

Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành công với dạng toán “Dấu Tam Thức Bậc 2”. Chúc các bạn học tốt!