Đường trung trực là một khái niệm quan trọng trong hình học, đặc biệt là ở chương trình lớp 7. Việc nắm vững các Dấu Hiệu Nhận Biết đường Trung Trực giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và chính xác. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các phương pháp nhận biết và chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để củng cố kiến thức.
Các Dấu Hiệu Nhận Biết Đường Trung Trực
Để nhận biết và chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng, ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:
1. Dấu hiệu 1: Sử dụng định nghĩa
Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
- Đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB.
- Đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.
Tóm lại: Đường trung trực là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
2. Dấu hiệu 2: Sử dụng tính chất
Nếu một đường thẳng d chứa hai điểm E và F mà cả hai điểm này đều cách đều hai đầu mút A và B của đoạn thẳng AB (EA = EB và FA = FB), thì đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Tóm lại: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hình vẽ sau:
Trong hình vẽ trên, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng PQ?
Phân tích:
Để xác định đường trung trực, ta cần kiểm tra xem đường thẳng nào vừa đi qua trung điểm của PQ, vừa vuông góc với PQ tại trung điểm đó.
- Đường thẳng a và d: Không đi qua trung điểm I của PQ.
- Đường thẳng b: Đi qua trung điểm I và vuông góc với PQ tại I.
- Đường thẳng c: Đi qua trung điểm I nhưng không vuông góc với PQ.
Kết luận:
Đường thẳng b là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AC = BC. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng CI là đường trung trực của AB.
Chứng minh:
Xét tam giác CAI và tam giác CBI, ta có:
- CA = CB (giả thiết)
- CI là cạnh chung
- AI = BI (I là trung điểm của AB)
Do đó, tam giác CAI = tam giác CBI (c.c.c).
Suy ra góc CIA = góc CIB (hai góc tương ứng).
Mà góc CIA + góc CIB = 180° (hai góc kề bù).
Nên góc CIA = góc CIB = 90°.
Vậy CI vuông góc với AB tại I.
Vì I là trung điểm của AB và CI vuông góc với AB tại I, nên CI là đường trung trực của AB.
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Trong các hình vẽ sau, hình nào đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng MN?
(A)
(B)
(C)
(D)
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Chọn câu đúng nhất?
A. AD vuông góc với BC.
B. AD vuông góc với BE (E là trung điểm AC).
C. AD là đường trung trực của đoạn thẳng BE.
D. AD đi qua trung điểm của đoạn thẳng BE.
Bài 3. Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia phân giác Ot của góc xOy, lấy điểm I (I ≠ O). Gọi A, B lần lượt là các điểm trên các tia Ox, Oy sao cho OA = OB (O ≠ A và O ≠ B). Kết luận nào sau đây đúng nhất?
A. Ot vuông góc với AB.
B. Ot là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
C. Ot đi qua trung điểm của AB.
D. Góc OAI ≠ góc OBI.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC, N là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
A. AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
B. AN là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
C. MN là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB
A. Góc ADC = góc ACD.
B. AK vuông góc với DC.
C. AK là đường trung trực của đoạn thẳng DC.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. AD là đường trung trực của BC.
B. Góc ABC + góc CAD = 90°.
C. Tam giác ADB = tam giác ADC.
D. Góc ABC + góc ADC = 180°.
Bài 7. Cho đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác PAB cân tại P, tam giác QAB cân tại Q (P, Q nằm khác phía so với AB). Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
A. P thuộc đường trung trực của AB.
B. Q thuộc đường trung trực của AB.
C. PQ là đường trung trực của AB.
D. Góc PAB > góc PBA.
Bài 8. Cho góc xOy (0° < góc xOy < 90°), Ot là tia phân giác của góc xOy và H là một điểm bất kỳ thuộc tia Ot. Qua H, lần lượt vẽ đường thẳng d và d’ thỏa mãn d vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C và d’ vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Khẳng định nào sau đây sai?
A. OH là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
B. OC > OD.
C. OH là đường trung trực của đoạn thẳng CD.
D. OA = OB.
Bài 9. Cho tam giác DEF cân tại D. Lấy điểm K nằm trong tam giác sao cho KE = KF. Kẻ KP vuông góc với DE (P ∈ DE), KQ vuông góc với DF (Q ∈ DF). Khẳng định nào sau đây sai?
A. K thuộc đường trung trực của EF.
B. K thuộc đường trung trực của PQ.
C. DK là đường trung trực của EF.
D. DK không là đường trung trực của PQ.
Bài 10. Cho hình vẽ sau:
Chọn kết luận sai.
A. A thuộc đường trung trực của MN.
B. B thuộc đường trung trực của MN.
C. AB là đường trung trực của MN.
D. AB không là đường trung trực của MN.
Kết luận
Nắm vững các dấu hiệu nhận biết đường trung trực là yếu tố then chốt để giải quyết các bài toán hình học liên quan. Hy vọng qua bài viết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về khái niệm đường trung trực và có thể áp dụng linh hoạt các dấu hiệu để giải các bài tập một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!
