Trong chương trình Toán lớp 11, việc tìm đạo hàm của các hàm số, đặc biệt là hàm phân thức hữu tỷ, là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào cách tính đạo hàm của hàm số có dạng y = (2x+1)/(x-1), một ví dụ điển hình giúp bạn nắm vững các quy tắc và công thức đạo hàm.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương. Nhắc lại rằng, nếu y = u/v, thì y’ = (u’v – uv’) / v².
Trong trường hợp này, u = 2x + 1 và v = x – 1.
- u’ = (2x + 1)’ = 2
- v’ = (x – 1)’ = 1
Áp dụng công thức, ta có:
y’ = (2(x – 1) – (2x + 1)1) / (x – 1)²
= (2x – 2 – 2x – 1) / (x – 1)²
= -3 / (x – 1)²
Vậy, đạo hàm của hàm số y = (2x + 1)/(x – 1) là y’ = -3 / (x – 1)².
Ví dụ minh họa trên giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức đạo hàm của thương. Tuy nhiên, trong một số bài toán, hàm số có thể phức tạp hơn. Ví dụ, ta xét hàm số y = ((2x+1)/(x-1))^3. Để tìm đạo hàm của hàm số này, ta cần kết hợp quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
Cho hàm số y = ((2x+1)/(x-1))^3, ta có thể xem đây là hàm hợp của u(x) = (2x+1)/(x-1) và y(u) = u^3. Khi đó, đạo hàm của y theo x sẽ là y’ = 3u² * u’.
Chúng ta đã biết u’ = -3 / (x – 1)². Thay vào công thức, ta được:
y’ = 3 ((2x+1)/(x-1))² (-3 / (x – 1)²)
= -9 ((2x+1)² / (x-1)²) (1 / (x – 1)²)
= -9 * (2x+1)² / (x-1)^4
Đây là một ví dụ điển hình và thường gặp trong các bài tập về đạo hàm.
Hình ảnh minh họa các bước tính đạo hàm của hàm số y=(2x+1)/(x-1), áp dụng quy tắc đạo hàm của thương và hàm hợp để tìm ra kết quả cuối cùng.
Để củng cố kiến thức, chúng ta sẽ xem xét một bài tập trắc nghiệm liên quan đến đạo hàm của hàm số y = ((2x+1)/(x-1))^3.
Bài tập: Đạo hàm của hàm số y=((2x+1)/(x-1))^3 là:
A. 3((2x+1)/(x-1))^2
B. -9((2x+1)/(x-1))^2
C. -9((2x+1)/(x-1))^2 / (x-1)^2
D. 9((2x+1)/(x-1))^2 / (x-1)^2
Lời giải:
Như đã tính ở trên, đạo hàm của hàm số y = ((2x+1)/(x-1))^3 là:
y’ = -9 (2x+1)² / (x-1)^4 = -9 ((2x+1)/(x-1))^2 / (x-1)^2
Vậy đáp án đúng là C.
Qua bài viết này, hy vọng bạn đã nắm vững cách tính đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỷ dạng y = (2x+1)/(x-1) và các biến thể của nó. Việc luyện tập thường xuyên với nhiều bài tập khác nhau sẽ giúp bạn thành thạo kỹ năng này và tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Biểu tượng tài liệu đề thi, tượng trưng cho việc áp dụng các công thức đạo hàm vào giải các bài tập và đề thi liên quan đến hàm phân thức hữu tỷ và hàm hợp.
