Tính đạo hàm của sin²x là một bài toán cơ bản nhưng quan trọng trong giải tích. Nó không chỉ giúp bạn nắm vững quy tắc đạo hàm mà còn là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn công thức, cách chứng minh và các ứng dụng thực tế của đạo hàm sin²x.
Công thức đạo hàm sin²x
Đạo hàm của sin²x được tính theo công thức:
(sin²x)’ = 2sin(x)cos(x) = sin(2x)
Chứng minh đạo hàm sin²x
Có hai cách phổ biến để chứng minh công thức đạo hàm của sin²x:
Cách 1: Sử dụng quy tắc hàm hợp
Ta có sin²x = (sin x)². Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp:
(f(g(x)))’ = f'(g(x)) * g'(x)
Trong đó, f(u) = u² và g(x) = sin x. Vậy:
- f'(u) = 2u
- g'(x) = cos x
Do đó:
(sin²x)’ = 2(sin x) * (cos x) = 2sin(x)cos(x)
Sử dụng công thức lượng giác 2sin(x)cos(x) = sin(2x), ta có:
(sin²x)’ = sin(2x)
Cách 2: Sử dụng quy tắc tích
Ta có sin²x = sin(x) * sin(x). Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích:
(u(x)v(x))’ = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Trong đó, u(x) = sin x và v(x) = sin x. Vậy:
- u'(x) = cos x
- v'(x) = cos x
Do đó:
(sin²x)’ = cos(x) sin(x) + sin(x) cos(x) = 2sin(x)cos(x)
Tương tự như cách 1, ta có:
(sin²x)’ = sin(2x)
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = 3sin²x + x
y’ = (3sin²x + x)’ = 3(sin²x)’ + (x)’ = 3(2sin(x)cos(x)) + 1 = 6sin(x)cos(x) + 1 = 3sin(2x) + 1
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = sin²(3x)
Áp dụng quy tắc hàm hợp và công thức đạo hàm sin²x, ta có:
y’ = (sin²(3x))’ = 2sin(3x) (sin(3x))’ = 2sin(3x) cos(3x) (3x)’ = 2sin(3x) cos(3x) * 3 = 6sin(3x)cos(3x) = 3sin(6x)
Ứng dụng của đạo hàm sin²x
Đạo hàm của sin²x có nhiều ứng dụng trong các bài toán giải tích và vật lý:
- Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm giúp xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số chứa sin²x.
- Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, nếu một vật dao động điều hòa theo phương trình có dạng sin²x, đạo hàm của nó sẽ cho ta biết vận tốc và gia tốc của vật.
- Giải các bài toán liên quan đến diện tích và thể tích: Trong một số trường hợp, việc tính diện tích hoặc thể tích liên quan đến hàm sin²x, và đạo hàm của nó đóng vai trò quan trọng trong quá trình giải.
- Tối ưu hóa: Đạo hàm sin²x có thể được sử dụng để tối ưu hóa các hàm mục tiêu trong các bài toán kỹ thuật và kinh tế.
Bài tập vận dụng
- Tính đạo hàm của hàm số y = sin²(x²)
- Tìm cực trị của hàm số y = sin²x – x trên khoảng (0, π)
- Một vật dao động điều hòa với phương trình x(t) = 5sin²(2t). Tính vận tốc của vật tại thời điểm t = π/4.
Kết luận
Hiểu rõ công thức và cách tính đạo hàm của sin²x là một kỹ năng quan trọng trong toán học và các ngành khoa học kỹ thuật. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết và hữu ích để nắm vững chủ đề này. Chúc bạn học tốt!
Đồ thị so sánh trực quan giữa hàm số sin²x và đạo hàm sin(2x), giúp học sinh dễ dàng hình dung sự biến thiên và mối liên hệ giữa chúng trong giải tích.
