Đạo hàm là một khái niệm then chốt trong giải tích, thể hiện tốc độ thay đổi của một hàm số. Đối với hàm số căn bậc hai, việc tính đạo hàm có những quy tắc và công thức riêng. Bài viết này sẽ đi sâu vào đạo Hàm Căn Bậc 2 Của X, cung cấp công thức, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn đọc nắm vững kiến thức này.
Đạo hàm của một hàm số y = f(x) tại một điểm x0 được định nghĩa là giới hạn của tỷ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi đối số tiến đến x0. Ký hiệu: f'(x0) hoặc y'(x0). Về bản chất, đạo hàm thể hiện độ dốc của tiếp tuyến tại điểm đó trên đồ thị hàm số.
Công thức đạo hàm tổng quát được biểu diễn:
Trong đó:
- △x = x – x0 (Số gia của đối số)
- △y = y – y0 (Số gia của hàm số)
Công Thức Đạo Hàm Căn Bậc 2 Của X
Công thức đạo hàm căn bậc 2 của x là một trong những công thức cơ bản nhất mà học sinh cần nắm vững.
Công thức: Nếu y = √x, thì y’ = 1 / (2√x)
Công Thức Tổng Quát Đạo Hàm Căn Bậc Hai của U(x)
Khi biểu thức dưới dấu căn không chỉ là x mà là một hàm số u(x) theo x, ta sử dụng công thức tổng quát hơn:
Công thức: Nếu y = √u(x), thì y’ = u'(x) / (2√u(x))
Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức đạo hàm căn bậc 2, chúng ta sẽ xét một vài ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = 2√x
Áp dụng công thức y’ = 1 / (2√x), ta có:
y’ = 2 * (1 / (2√x)) = 1 / √x
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = √(x² + 1)
Áp dụng công thức y’ = u'(x) / (2√u(x)) với u(x) = x² + 1, ta có u'(x) = 2x.
Vậy, y’ = (2x) / (2√(x² + 1)) = x / √(x² + 1)
Các Công Thức Đạo Hàm Căn Thức Mở Rộng
Ngoài căn bậc hai, chúng ta còn có các công thức đạo hàm cho căn bậc n:
- Đạo hàm căn bậc n của x: Nếu y = ⁿ√x, thì y’ = 1 / (n * ⁿ√x^(n-1))
- Đạo hàm căn bậc n của u(x): Nếu y = ⁿ√u(x), thì y’ = u'(x) / (n * ⁿ√u(x)^(n-1))
Các Dạng Bài Tập Về Đạo Hàm Căn Bậc 2 Của X
Dạng 1: Tính đạo hàm trực tiếp
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
- y = 3√x
- y = √(2x + 5)
- y = x√x
Dạng 2: Tìm x khi biết y’
Ví dụ: Tìm x để y’ = 1, biết y = √x
Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm để tìm tiếp tuyến
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = √x tại điểm có hoành độ x = 4.
Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập sau:
- Tính đạo hàm của hàm số y = 5√(x³ + 2)
- Tìm x để y’ = 2, biết y = √(4x – 1)
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = √(x + 3) tại điểm có hoành độ x = 1.
Nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành thạo đạo hàm căn bậc 2 của x. Chúc bạn thành công!
