1. Định nghĩa đa Thức Một Biến
Đa thức một biến là một biểu thức đại số có dạng tổng của những đơn thức của cùng một biến. Nói cách khác, nó là sự kết hợp của các số và biến, được liên kết với nhau bằng các phép toán cộng, trừ và nhân, trong đó biến chỉ xuất hiện với số mũ nguyên không âm.
Mỗi số cũng có thể được xem là một đa thức một biến (đa thức bậc 0).
Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không và đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.
Ví dụ về đa thức một biến, minh họa các thành phần và bậc của đa thức.
Ví dụ: Đa thức (5{x^5} + 4{x^3} – 2{x^2} + x) là đa thức một biến (biến $x$); bậc của đa thức là 5.
2. Sắp xếp đa thức một biến
Để thuận tiện cho việc tính toán và phân tích, người ta thường sắp xếp các hạng tử của đa thức một biến theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.
Trước khi sắp xếp, cần thu gọn đa thức bằng cách kết hợp các hạng tử đồng dạng (các hạng tử có cùng biến và số mũ).
Các chữ cái đại diện cho các số xác định trước được gọi là hằng số.
Ví dụ: Cho đa thức (P(x) = 2 + 5{x^2} – 3{x^3} + 4{x^2} – 2x – {x^3} + 6{x^5}.) Hãy thu gọn và sắp xếp đa thức $P(x)$.
Giải:
(P(x) = 2 + 5{x^2} – 3{x^3} + 4{x^2} – 2x – {x^3} + 6{x^5})
( = 6{x^5} + left( { – 3{x^3} – {x^3}} right) + left( {5{x^2} + 4{x^2}} right) – 2x + 2)
( = 6{x^5} – 4{x^3} + 9{x^2} – 2x + 2)
3. Hệ số và giá trị của đa thức một biến
a) Hệ số của đa thức:
- Hệ số cao nhất là hệ số của số hạng có bậc cao nhất.
- Hệ số tự do là số hạng không chứa biến.
b) Giá trị của đa thức:
Giá trị của đa thức (f(x)) tại (x = a) được kí hiệu là (f(a)), được tính bằng cách thay (x = a) vào đa thức (f(x)) rồi thu gọn lại.
Ví dụ về cách xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do trong một đa thức một biến.
Ví dụ: Các hệ số của đa thức (6{x^5} – {x^4} + 5{x^2} – x + 2) là: $6; – 1;5; – 1;2$.
Hệ số tự do là: $2$.
Hệ số cao nhất là: $6$.
II. Các dạng toán thường gặp về đa thức một biến
Dạng 1: Sắp xếp các hạng tử của đa thức
Phương pháp:
- Viết đa thức đã cho dưới dạng thu gọn.
- Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.
Dạng 2: Xác định bậc của đa thức
Phương pháp:
- Viết đa thức dưới dạng thu gọn.
- Trong dạng thu gọn, bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.
Dạng 3: Tìm các hệ số của một đa thức
Phương pháp:
- Viết đa thức dưới dạng thu gọn.
- Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm hoặc tăng của biến.
- Xác định các hệ số từ lũy thừa (0) (hệ số tự do) đến lũy thừa cao nhất của biến (hệ số cao nhất).
Dạng 4: Tính giá trị của đa thức
Phương pháp:
- Thay giá trị của biến vào biểu thức.
- Thực hiện phép tính để thu gọn và tìm giá trị của đa thức.
