Để giải quyết các bài toán hình học không gian liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng, việc nắm vững kiến thức và phương pháp là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về cách xác định và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn đọc có thể áp dụng kiến thức một cách hiệu quả.
A. Phương Pháp Xác Định và Tính Cosin Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β), ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau, tập trung vào việc tìm cosin của góc:
-
Cách 1: Tìm vectơ pháp tuyến. Xác định vectơ pháp tuyến $vec{n_1}$ của mặt phẳng (α) và vectơ pháp tuyến $vec{n_2}$ của mặt phẳng (β). Cosin của góc giữa hai mặt phẳng được tính theo công thức:
$$cos(alpha, beta) = frac{|vec{n_1} cdot vec{n_2}|}{|vec{n_1}| cdot |vec{n_2}|}$$
-
Cách 2: Sử dụng công thức hình chiếu. Gọi S là diện tích của hình (H) nằm trong mặt phẳng (α) và S’ là diện tích hình chiếu của (H) lên mặt phẳng (β). Khi đó:
$$S’ = S cdot cos varphi Rightarrow cos varphi = frac{S’}{S}$$
Trong đó, φ là góc giữa hai mặt phẳng. -
Cách 3: Xác định trực tiếp góc giữa hai mặt phẳng.
- Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mặt phẳng (α) và (β).
- Bước 2: Chọn một mặt phẳng (γ) vuông góc với giao tuyến Δ.
- Bước 3: Tìm các giao tuyến a và b của (γ) với (α) và (β) tương ứng. Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) chính là góc giữa hai đường thẳng a và b.
$$(widehat{(alpha), (beta)}) = (a, b)$$
Sau khi xác định được góc, ta có thể tính cosin của góc đó.
Hình ảnh minh họa cách tìm góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định giao tuyến và mặt phẳng vuông góc với giao tuyến.
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD).
Hướng dẫn giải:
Đặt AB = a. Gọi I là trung điểm của AB.
Tam giác ABC đều cạnh a nên CI ⊥ AB và CI = a√3/2
Tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB và DI = a√3/2
Do đó, ((ABC), (ABD)) = (CI, DI) = ∠CID = α
Xét tam giác CID, ta có:
$$CD^2 = CI^2 + DI^2 – 2 cdot CI cdot DI cdot cos alpha$$
$$a^2 = (frac{asqrt{3}}{2})^2 + (frac{asqrt{3}}{2})^2 – 2 cdot frac{asqrt{3}}{2} cdot frac{asqrt{3}}{2} cdot cos alpha$$
$$a^2 = frac{3a^2}{4} + frac{3a^2}{4} – frac{3a^2}{2} cdot cos alpha$$
$$a^2 = frac{3a^2}{2} – frac{3a^2}{2} cdot cos alpha$$
$$frac{3a^2}{2} cdot cos alpha = frac{a^2}{2}$$
$$cos alpha = frac{1}{3}$$
Hình ảnh minh họa cách xác định và tính cosin góc giữa hai mặt phẳng trong tứ diện đều.
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính cosin của góc giữa một mặt bên và mặt đáy.
Hướng dẫn giải:
Gọi H là giao điểm của AC và BD.
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥ (ABCD)
Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.
Tam giác SCD cân tại S; tam giác CHD cân tại H.
SM ⊥ CD và HM ⊥ CD
⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α
Tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến ⇒ SM = a√3/2
HM = a√2/2 (vì HM là nửa cạnh hình vuông ABCD)
Xét tam giác SHM vuông tại H:
$$cos alpha = frac{HM}{SM} = frac{frac{asqrt{2}}{2}}{frac{asqrt{3}}{2}} = frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$$
Hình ảnh minh họa cách xác định và tính cosin góc giữa mặt bên và mặt đáy trong hình chóp tứ giác đều.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Gọi E là trung điểm BC. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SOE)và (SBC).
Hướng dẫn giải:
Tam giác BCD có BC = BD và ∠BCD = 60° nên tam giác BCD đều
Lại có E là trung điểm BC ⇒ DE ⊥ BC
Trong tam giác BDE, gọi F là trung điểm BE. Ta có OF là đường trung bình
⇒ OF // DE ⇒ BC ⊥ OF (1).
Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SO (2).
Từ (1) và (2), suy ra BC ⊥ (SOF)
=> (SBC) vuông góc (SOF). Do đó cosin góc giữa (SOF) và (SBC) bằng 0.
Hình ảnh minh họa cách xác định và tính cosin góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp có đáy là hình thoi.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = a√3 . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính cosin góc giữa (ABC) và (DBC).
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Gọi M là trung điểm AD. Tính cosin của góc giữa (SMC) và (ABCD).
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C lần lượt lấy D; E nằm trên cùng một phía đối với (P) sao cho BD = a√3/2, CE = a√3. Tính cosin của góc giữa (P) và (ADE).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD); SA = x. Xác định x để cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng √2/2.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).
Bài 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính cosin của góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.
Thông qua việc nắm vững lý thuyết, xem xét các ví dụ minh họa và thực hành các bài tập, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến Cosin Góc Giữa Hai Mặt Phẳng trong không gian. Chúc các bạn thành công!
