Để làm chủ các bài toán về đa thức, việc nắm vững các phép toán Cộng Trừ Nhân Chia đa Thức là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và chi tiết nhất về chủ đề này, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp bạn tự tin giải quyết mọi dạng bài.
A. Lý Thuyết Về Phép Toán Cộng Trừ Đa Thức
1. Quy Tắc Cộng Trừ Đa Thức
Để thực hiện phép cộng trừ đa thức, chúng ta tuân theo các bước sau:
- Bước 1: Viết các đa thức cần cộng (hoặc trừ) trong dấu ngoặc đơn.
- Bước 2: Bỏ dấu ngoặc. Lưu ý quy tắc dấu ngoặc:
- Nếu trước ngoặc là dấu “+”, giữ nguyên dấu của các hạng tử trong ngoặc.
- Nếu trước ngoặc là dấu “-“, đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc (dấu “+” thành dấu “-” và ngược lại).
- Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng (các hạng tử có cùng phần biến).
- Bước 4: Thực hiện phép cộng hoặc trừ các đơn thức đồng dạng bằng cách cộng hoặc trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.
Ví dụ 1: Thực hiện phép cộng hai đa thức: M = 5x²y + 5x + 3 và N = xyz – 4x²y + 5x – ½.
Ví dụ 2: Thực hiện phép trừ hai đa thức: P = 5x²y – 4xy² + 5x – 3 và Q = xyz – 4x²y + xy² + 5x – ½.
Ví dụ 3: Tính tổng của các đa thức: 3x²y – x³ – 2xy² + 5 và 2x³ – 3xy² – x²y + xy + 6
Hướng dẫn giải:
Tổng của hai đa thức là:
2. Lưu Ý Quan Trọng Khi Cộng Trừ Đa Thức
- Chỉ cộng hoặc trừ được các đơn thức đồng dạng.
- Khi bỏ dấu ngoặc, cần đặc biệt chú ý đến dấu trước ngoặc để tránh sai sót.
- Nên kiểm tra lại kết quả sau khi thực hiện các phép toán để đảm bảo tính chính xác.
B. Lý Thuyết Về Phép Toán Nhân Chia Đa Thức
1. Quy Tắc Nhân Đa Thức Với Đơn Thức
Để nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, sau đó cộng các kết quả lại với nhau.
Ví dụ: A(B + C) = A.B + A.C
2. Quy Tắc Nhân Đa Thức Với Đa Thức
Để nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai, sau đó cộng các kết quả lại với nhau.
Ví dụ: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D
3. Chia Đa Thức Cho Đơn Thức
Để chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó.
4. Các Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ
Việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ giúp việc tính toán cộng trừ nhân chia đa thức trở nên nhanh chóng và dễ dàng hơn. Một số hằng đẳng thức quan trọng bao gồm:
- (A + B)² = A² + 2AB + B²
- (A – B)² = A² – 2AB + B²
- (A + B)(A – B) = A² – B²
- (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
- (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³
- A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)
- A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)
C. Bài Tập Vận Dụng Về Cộng, Trừ Đa Thức
Bài 1: Tìm đa thức M, biết:
a) M – (2x³ – 4xy + 6y²) = x² + 3xy – y²
b) (2x² – 4xy + y²) + M = 0
c) (2x² – 7xy + 3y²) – 2M = 4x² – 5xy + 9y²
Lời giải:
Bài 2: Tính giá trị của các đa thức sau:
a) 2x³ + y² + 2xy – 3y³ + 2x³ + 3y³ – 3x³ tại x = 4; y = 5
b) x⁶y⁶ – x⁴y⁴ + x²y – xy + 1 tại x = 1; y = -1
Bài 3: Cho hai đa thức P(x) = x⁴ + 2x³ + x – 2 và Q(x) = −2x⁴ – x³ + x² + 1. Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x).
Bài 4: Cho hai đa thức: P(x) = 2x³ – 3x² + x và Q(x) = x³ – x² + 2x + 1. Tính P(x) + Q(x); P(x) – Q(x).
Bài 5: Cho hai đa thức: P(x) = 2x⁴ + 2x³ – 3x² + x + 6 và Q(x) = x⁴ – x³ – x² + 2x + 1. Tính P(x) + Q(x); P(x) – Q(x).
Bài 6: Cho hai đa thức: P(x) = x³ – 2x² + x – 5 và Q(x) = −x³ + 2x² + 3x – 9. Tính P(x) + Q(x); P(x) – Q(x)
Bài 7: Cho hai đa thức: P(x) = 5x³ + x² – x + 3; Q(x) = x³ – 2x² + 3x + 2. Tính P(x) + Q(x); P(x) – Q(x).
Bài 8: Cho các đa thức A(x) = −x³ + 3x + 2; B(x) = 4x² – 5x + 3; C(x) = 3x² + 2x + 1. Tính A(x) – B(x) – C(x).
Ví dụ 4: Viết một đa thức bậc 3 có chứa ba biến và có bốn hạng tử.
Hướng dẫn giải:
Có nhiều cách viết, chẳng hạn như:
Lời khuyên: Hãy luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau để nắm vững kiến thức và kỹ năng về cộng trừ nhân chia đa thức. Chúc bạn học tốt!