Công Thức Vectơ Chỉ Phương Của Đường Thẳng: Lý Thuyết, Ví Dụ & Bài Tập

A. Tổng Quan Về Vectơ Chỉ Phương

Trong hình học giải tích, vectơ chỉ phương đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hướng của một đường thẳng. Hiểu rõ về Công Thức Vectơ Chỉ Phương sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng, vị trí tương đối giữa các đường thẳng, và các bài toán liên quan đến khoảng cách và góc.

• Định nghĩa: Vectơ u→ được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d nếu giá của vectơ u→ song song hoặc trùng với đường thẳng d.
• Tính chất: Nếu u→(a; b) là VTCP của đường thẳng d, thì k.u→(ka; kb) (với k ≠ 0) cũng là VTCP của đường thẳng d. Điều này có nghĩa là một đường thẳng có vô số VTCP, chúng đều cùng phương với nhau.
• Mối quan hệ với vectơ pháp tuyến: Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến (VTPT) n→(a; b) thì vectơ u→(-b; a) hoặc u’→(b; -a) là các VTCP của d. VTPT và VTCP của một đường thẳng luôn vuông góc với nhau.

B. Các Phương Pháp Tìm Vectơ Chỉ Phương

Có nhiều cách để tìm công thức vectơ chỉ phương của một đường thẳng, tùy thuộc vào thông tin đã cho:

1. Khi biết hai điểm thuộc đường thẳng: Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B), thì vectơ AB→(x_B – x_A; y_B – y_A) là một VTCP của d.

2. Khi biết vectơ pháp tuyến: Nếu đường thẳng d có VTPT n→(a; b), thì vectơ u→(-b; a) hoặc u’→(b; -a) là các VTCP của d.

3. Khi biết phương trình tổng quát của đường thẳng: Nếu đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c = 0, thì VTPT của d là n→(a; b), suy ra VTCP của d là u→(-b; a) hoặc u’→(b; -a).

4. Khi biết phương trình tham số của đường thẳng: Nếu đường thẳng d có phương trình tham số x = x₀ + at, y = y₀ + bt, thì VTCP của d là u→(a; b).

C. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d có phương trình 2x – 3y + 5 = 0. Tìm một vectơ chỉ phương của d.

Giải:

Đường thẳng d có VTPT là n→(2; -3).
Vậy, một VTCP của d là u→(3; 2).

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(-1; 2) và B(3; -1). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Giải:

Vectơ AB→(3 – (-1); -1 – 2) = (4; -3).
Vậy, một VTCP của đường thẳng AB là u→(4; -3).

Ví dụ 3: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 1) và song song với đường thẳng Δ: x – 2y + 3 = 0.

Giải:

Đường thẳng Δ có VTPT n→(1; -2), suy ra VTCP u→(2; 1).
Vì d song song với Δ nên d cũng có VTCP u→(2; 1).

Ví dụ 4: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) có phương trình tham số:
x = 1 + 2t
y = -3 + t

Giải:

Từ phương trình tham số, ta thấy ngay vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) là u→(2; 1)

D. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức về công thức vectơ chỉ phương, hãy thử sức với các bài tập sau:

Bài 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -2) và B(3; 4).
Bài 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tổng quát 3x + 4y – 7 = 0.
Bài 3: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: x + y – 2 = 0.

Đáp án:

• Bài 1: u→(2; 6) (hoặc u→(1; 3))
• Bài 2: u→(-4; 3)
• Bài 3: u→(1; -1)

E. Ứng Dụng Của Vectơ Chỉ Phương

Nắm vững công thức vectơ chỉ phương không chỉ giúp bạn giải các bài tập cơ bản, mà còn là nền tảng để giải quyết các vấn đề phức tạp hơn trong hình học giải tích, chẳng hạn như:

• Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi VTCP của chúng cùng phương. Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của VTCP của chúng bằng 0.
• Viết phương trình đường thẳng: Khi biết một điểm thuộc đường thẳng và VTCP của nó, ta có thể viết được phương trình tham số hoặc phương trình tổng quát của đường thẳng.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Sử dụng VTCP để thiết lập công thức tính khoảng cách.
• Tìm góc giữa hai đường thẳng: Sử dụng VTCP để tính cosin của góc giữa hai đường thẳng.

Hình ảnh minh họa mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của một đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy. Vecto pháp tuyến vuông góc với đường thẳng, trong khi vecto chỉ phương song song với đường thẳng. Sử dụng hình ảnh này giúp người đọc dễ hình dung và ghi nhớ kiến thức về vectơ chỉ phương, một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0 và điểm A(1; 2). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và song song với d.

Giải:

Đường thẳng d có VTCP u→(1; 2). Vì Δ song song với d nên Δ cũng có VTCP u→(1; 2).
Vậy, phương trình tham số của Δ là:
x = 1 + t
y = 2 + 2t

F. Lưu Ý Khi Sử Dụng Vectơ Chỉ Phương

• Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, chúng đều cùng phương với nhau. Do đó, khi giải bài toán, bạn có thể chọn vectơ chỉ phương có tọa độ đơn giản nhất để tính toán dễ dàng hơn.
• Luôn kiểm tra xem vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến bạn tìm được có thỏa mãn điều kiện vuông góc hay không.
• Khi giải các bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữa các đường thẳng, hãy sử dụng vectơ chỉ phương để xác định mối quan hệ song song, vuông góc.

Hình ảnh biểu diễn quá trình chuyển đổi từ phương trình tổng quát của đường thẳng (ax + by + c = 0) sang vectơ chỉ phương. Vecto pháp tuyến có tọa độ (a; b) và từ đó suy ra vecto chỉ phương có tọa độ (-b; a). Hình ảnh này giúp người học dễ dàng áp dụng công thức và tìm ra vecto chỉ phương một cách nhanh chóng.

G. Kết Luận

Hiểu và vận dụng thành thạo công thức vectơ chỉ phương là một kỹ năng quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Bằng cách nắm vững lý thuyết, luyện tập các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, bạn sẽ có thể tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan đến đường thẳng. Hãy nhớ rằng, hình học giải tích là một lĩnh vực thú vị và đầy thử thách, nhưng với sự kiên trì và nỗ lực, bạn sẽ chinh phục được nó.