Các Định Nghĩa Cơ Bản về Vectơ
1. Định Nghĩa Vectơ
Trong hình học, vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối, chỉ ra hướng và độ lớn. Vectơ đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các đại lượng vật lý như lực, vận tốc, và gia tốc.
Ký hiệu vectơ: Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là $overrightarrow{AB}$.
Alt: Minh họa vectơ AB: điểm đầu A, điểm cuối B, hướng từ A tới B
Vectơ còn được kí hiệu là $overrightarrow{a}$ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.
Alt: Biểu diễn vectơ a không cần điểm đầu cuối, ký hiệu toán học
2. Vectơ Cùng Phương, Vectơ Cùng Hướng
- Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ.
- Vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
- Vectơ cùng hướng: Hai vectơ cùng phương và có chiều mũi tên chỉ cùng một hướng.
Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$ cùng phương.
3. Hai Vectơ Bằng Nhau
Độ dài của vectơ $overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là |$overrightarrow{AB}$|, và |$overrightarrow{AB}$| = AB.
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
Hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $overrightarrow{a}$ = $overrightarrow{b}$.
Chú ý: Khi cho trước vectơ $overrightarrow{a}$ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $overrightarrow{OA}$ = $overrightarrow{a}$.
4. Vectơ – Không
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Vectơ này được kí hiệu là $overrightarrow{0}$.
Tổng và Hiệu của Hai Vectơ
1. Tổng của Hai Vectơ
Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $overrightarrow{AB}$ = $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{BC}$ = $overrightarrow{b}$. Vectơ $overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Ta kí hiệu: $overrightarrow{a}$ + $overrightarrow{b}$ = $overrightarrow{AC}$.
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
Alt: Phép cộng vectơ: a + b = c, minh họa bằng hình học
2. Quy Tắc Hình Bình Hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì $overrightarrow{AB}$ + $overrightarrow{AD}$ = $overrightarrow{AC}$.
Alt: Quy tắc hình bình hành: AB + AD = AC
3. Tính Chất Của Phép Cộng Vectơ
Với ba vectơ $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$ và $overrightarrow{c}$ tùy ý, ta có:
- $overrightarrow{a}$ + $overrightarrow{b}$ = $overrightarrow{b}$ + $overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán).
- ($overrightarrow{a}$ + $overrightarrow{b}$) + $overrightarrow{c}$ = $overrightarrow{a}$ + ($overrightarrow{b}$ + $overrightarrow{c}$) (tính chất kết hợp).
- $overrightarrow{a}$ + $overrightarrow{0}$ = $overrightarrow{a}$ (tính chất của vectơ – không).
4. Hiệu của Hai Vectơ
- Vectơ đối: Cho vectơ $overrightarrow{a}$. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với $overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $overrightarrow{a}$, kí hiệu là -$overrightarrow{a}$.
Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của $overrightarrow{AB}$ là $overrightarrow{BA}$. Đặc biệt, vectơ đối của vectơ $overrightarrow{0}$ là vectơ $overrightarrow{0}$.
- Định nghĩa hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Ta gọi hiệu của hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là vectơ $overrightarrow{a}$ – $overrightarrow{b}$ = $overrightarrow{a}$ + (-$overrightarrow{b}$).
- Như vậy $overrightarrow{a}$ – $overrightarrow{b}$ = $overrightarrow{a}$ + (-$overrightarrow{b}$).
- Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có $overrightarrow{OA}$ – $overrightarrow{OB}$ = $overrightarrow{BA}$.
Alt: Phép trừ vectơ: OA – OB = BA, minh họa bằng hình học
Chú ý:
-
Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
-
Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có:
- $overrightarrow{AB}$ + $overrightarrow{BC}$ = $overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm).
- $overrightarrow{CA}$ – $overrightarrow{CB}$ = $overrightarrow{BA}$ (quy tắc trừ).
5. Ứng Dụng
- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $overrightarrow{IA}$ + $overrightarrow{IB}$ = $overrightarrow{0}$.
- Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $overrightarrow{GA}$ + $overrightarrow{GB}$ + $overrightarrow{GC}$ = $overrightarrow{0}$.
Tích Của Vectơ Với Một Số
1. Định Nghĩa
Cho số k ≠ 0 và vectơ $overrightarrow{a}$. Tích của vectơ $overrightarrow{a}$ với số k là một vectơ, kí hiệu là k$overrightarrow{a}$, cùng hướng với $overrightarrow{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $overrightarrow{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng |k|.|$overrightarrow{a}$|.
2. Tính Chất
Với hai vectơ $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$ bất kì, với mọi số h và k, ta có:
- k($overrightarrow{a}$ + $overrightarrow{b}$) = k$overrightarrow{a}$ + k$overrightarrow{b}$.
- (h + k)$overrightarrow{a}$ = h$overrightarrow{a}$ + k$overrightarrow{a}$.
- h(k$overrightarrow{a}$) = (hk)$overrightarrow{a}$.
- 1.$overrightarrow{a}$ = $overrightarrow{a}$.
- (-1).$overrightarrow{a}$ = -$overrightarrow{a}$.
Alt: Tích của vectơ với một số: tính chất phân phối và kết hợp
3. Trung Điểm Của Đoạn Thẳng và Trọng Tâm Của Tam Giác
- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M, ta có: $overrightarrow{MI}$ = 1/2($overrightarrow{MA}$ + $overrightarrow{MB}$).
- Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta có: $overrightarrow{MA}$ + $overrightarrow{MB}$ + $overrightarrow{MC}$ = 3$overrightarrow{MG}$.
4. Điều Kiện Để Hai Vectơ Cùng Phương
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng phương là có một số k để $overrightarrow{a}$ = k$overrightarrow{b}$.
Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để $overrightarrow{AB}$ = k$overrightarrow{AC}$.
5. Phân Tích Một Vectơ Theo Hai Vectơ Không Cùng Phương
Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ $overrightarrow{x}$ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho $overrightarrow{x}$ = h$overrightarrow{a}$ + k$overrightarrow{b}$.
Hệ Trục Tọa Độ
1. Trục và Độ Dài Đại Số Trên Trục
- Trục tọa độ: (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị $overrightarrow{i}$.
Ta kí hiệu trục đó là (O ; $overrightarrow{i}$).
Alt: Trục tọa độ: gốc O, vectơ đơn vị i
- Cho M là một điểm tùy ý trên trục (O; $overrightarrow{i}$). Khi đó có duy nhất một số k sao cho $overrightarrow{OM}$ = k$overrightarrow{i}$. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
- Cho hai điểm A và B trên trục (O; $overrightarrow{i}$). Khi đó có duy nhất số a sao cho $overrightarrow{AB}$ = a$overrightarrow{i}$. Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ $overrightarrow{AB}$ đối với trục đã cho và kí hiệu a = $overline{AB}$.
2. Hệ Trục Tọa Độ
a) Định nghĩa: Hệ trục tọa độ (O; $overrightarrow{i}$;$overrightarrow{j}$) gồm hai trục (O;$overrightarrow{i}$) và (O;$overrightarrow{j}$) vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O;$overrightarrow{i}$) được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục (O; $overrightarrow{j}$) được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ $overrightarrow{i}$ và $overrightarrow{j}$ là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và $overrightarrow{i}$.$overrightarrow{j}$ = 1. Hệ trục tọa độ (O; $overrightarrow{i}$;$overrightarrow{j}$) còn được kí hiệu là Oxy.
Alt: Hệ trục tọa độ Oxy: trục hoành, trục tung, gốc tọa độ
Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.
b) Tọa độ của vectơ:
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ $overrightarrow{u}$ và gọi A1, A2 lần lượt là hình chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có $overrightarrow{u}$ = x$overrightarrow{i}$ + y$overrightarrow{j}$ và cặp số duy nhất (x; y) để $overrightarrow{u}$ = x$overrightarrow{i}$ + y$overrightarrow{j}$. Cặp số (x; y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ $overrightarrow{u}$ đối với hệ tọa độ Oxy và viết $overrightarrow{u}$ = (x; y) hoặc $overrightarrow{u}$(x; y). Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ $overrightarrow{u}$.
c) Tọa độ của một điểm:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ $overrightarrow{OM}$ đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó. Như vậy, cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi $overrightarrow{OM}$ = x$overrightarrow{i}$ + y$overrightarrow{j}$. Khi đó ta viết M(x; y) hoặc M = (x; y). Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M.
d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng:
Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Ta có $overrightarrow{AB}$ = (xB – xA; yB – yA).
3. Tọa Độ Của Các Vectơ
Ta có các công thức sau:
- Nếu $overrightarrow{a}$ = (ax; ay) và $overrightarrow{b}$ = (bx; by) thì $overrightarrow{a}$ + $overrightarrow{b}$ = (ax + bx; ay + by).
- Nếu $overrightarrow{a}$ = (ax; ay) thì k$overrightarrow{a}$ = (kax; kay).
4. Tọa Độ Trung Điểm Của Đoạn Thẳng. Tọa Độ Trọng Tâm Của Tam Giác
- Cho đoạn thẳng AB có A(xA, yA), B(xB, yB). Tọa độ trung điểm I(xI, yI) của đoạn thẳng AB là: xI = (xA + xB)/2 và yI = (yA + yB)/2.
- Cho tam giác ABC có A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC). Tọa độ của trọng tâm G(xG, yG) của tam giác ABC được tính theo công thức: xG = (xA + xB + xC)/3 và yG = (yA + yB + yC)/3.
Bài viết này cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về Công Thức Vectơ trong chương trình Toán lớp 10, bao gồm các định nghĩa cơ bản, các phép toán trên vectơ và ứng dụng của chúng trong hệ trục tọa độ. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập và ôn luyện.
