Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học phẳng, việc nắm vững Công Thức Tọa độ Trọng Tâm là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về công thức này, kèm theo các ví dụ minh họa chi tiết và bài tập tự luyện để bạn có thể áp dụng một cách hiệu quả.
A. Công Thức Tọa Độ Trọng Tâm Tam Giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với các đỉnh có tọa độ như sau:
- A(xA; yA)
- B(xB; yB)
- C(xC; yC)
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, thì tọa độ của G được tính theo công thức sau:
Alt text: Công thức tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC khi biết tọa độ các đỉnh A, B, C, sử dụng trung bình cộng.
Công thức này cho thấy, tọa độ trọng tâm G là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh của tam giác.
B. Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức tọa độ trọng tâm, hãy cùng xem xét một số ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm, ta có:
- xG = (2 + 0 + 1) / 3 = 1
- yG = (0 + 4 + 3) / 3 = 7/3
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G(1; 7/3).
Ví dụ 2: Cho tam giác DEF với D(-4; 1), E(2; 4) và F(2; -2). Tìm tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm:
Alt text: Phép tính tìm tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF với D(-4,1), E(2,4), F(2,-2), kết quả H(0,1).
Vậy tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF là H(0; 1).
Ví dụ 3: Tam giác ABC có C(-2; -4), trọng tâm G(0; 4), trung điểm BC là M(2; 0). Tìm tọa độ đỉnh A và đỉnh B.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm tọa độ điểm B. Vì M là trung điểm của BC nên:
Alt text: Công thức trung điểm để tìm tọa độ điểm B, biết M là trung điểm BC.
Từ đó suy ra B(6; 4).
Bước 2: Tìm tọa độ điểm A. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
Alt text: Công thức tìm tọa độ điểm A khi biết tọa độ trọng tâm G và hai đỉnh B, C của tam giác.
Từ đó suy ra A(-4; 12).
Vậy A(-4; 12) và B(6; 4).
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(2; 0), N(2; 2), P(-1; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm B.
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ của A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC).
-
M là trung điểm của BC:
Alt text: M là trung điểm của BC, công thức liên hệ tọa độ. -
N là trung điểm của AC:
Alt text: N là trung điểm của AC, công thức liên hệ tọa độ. -
P là trung điểm của AB:
Alt text: P là trung điểm của AB, công thức liên hệ tọa độ.
Cộng vế theo vế các phương trình trên và rút gọn để tìm tọa độ trọng tâm G. Sau đó, sử dụng mối liên hệ giữa trung điểm và trọng tâm để tìm tọa độ điểm B. Kết quả là B(-1; 1).
C. Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC có A(2; 3), B(1; 4), C(5; 7). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC có A(1; 5), B(-1; 3), C(2; 6). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 3: Tam giác ABC có C(2; 3), trọng tâm G(0; 2), trung điểm BC là M(-2; 1). Tìm tọa độ đỉnh A và đỉnh B.
Bài 4: Cho tam giác ABC có A(2; -2), B(3; 5) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ điểm C.
Bài 5: Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(2; 6) và C thuộc trục Ox, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ điểm C.
Bài 6: Cho tam giác ABC có A(1; 6), B(3; 5), C(-1; 3). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 7: Cho tam giác ABC có A(-2; 5), B(2; 4), C(1; 3). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 8: Tam giác ABC có C(1; 1), trọng tâm G(3; 2), trung điểm BC là M(0; 6). Tìm tọa độ đỉnh A và đỉnh B.
Bài 9: Cho tam giác ABC có A(1; 7), B(2; -3) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
Bài 10: Cho tam giác ABC có A(5; 8), B(-2; 3) và C thuộc trục Ox, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ của điểm C.
Nắm vững công thức tọa độ trọng tâm và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng và chính xác. Chúc bạn học tốt!
