Công Thức Tính Vectơ Chỉ Phương Của Đường Thẳng: Hướng Dẫn Chi Tiết và Bài Tập Áp Dụng

Vectơ chỉ phương (VTCP) là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích, đặc biệt khi nghiên cứu về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan, chi tiết và dễ hiểu về cách tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức.

A. Khái Niệm và Tính Chất Vectơ Chỉ Phương

• Định nghĩa: Một vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ đó song song hoặc trùng với đường thẳng d. Nói cách khác, vectơ chỉ phương cho biết hướng của đường thẳng.

• Tính chất:

  • Nếu u→(a; b) là VTCP của đường thẳng d, thì k.u→(ka; kb) (với k ≠ 0) cũng là VTCP của đường thẳng d. Điều này có nghĩa là một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, tất cả chúng đều cùng phương.
  • Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến (VTPT) n→(a; b) thì vectơ u→(-b; a) hoặc u’→(b; -a) là VTCP của đường thẳng d. VTPT và VTCP của một đường thẳng luôn vuông góc với nhau.

B. Các Phương Pháp Tìm Vectơ Chỉ Phương

Có nhiều cách để xác định vectơ chỉ phương của một đường thẳng, tùy thuộc vào thông tin đã cho:

1. Khi biết hai điểm thuộc đường thẳng:

   Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B), thì vectơ AB→(x_B – x_A; y_B – y_A) là một VTCP của đường thẳng d.

2. Khi biết phương trình tổng quát của đường thẳng:

   Nếu đường thẳng d có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0, thì vectơ pháp tuyến của d là n→(a; b). Từ đó, vectơ chỉ phương của d là u→(-b; a) hoặc u→(b; -a).

3. Khi biết phương trình tham số của đường thẳng:

   Nếu đường thẳng d có phương trình tham số là:

   x = x0 + at
   y = y0 + bt

   thì vectơ chỉ phương của d là u→(a; b).

4. Khi biết vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

   Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n→(a; b), thì vectơ chỉ phương của d là u→(-b; a) hoặc u→(b; -a).

5. Đối với đường thẳng đặc biệt (song song hoặc trùng với trục tọa độ):

   • Đường thẳng song song với trục Ox có VTCP là u→(1; 0).
   • Đường thẳng song song với trục Oy có VTCP là u→(0; 1).

C. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d có phương trình 2x – 3y + 5 = 0. Tìm một vectơ chỉ phương của d.

Giải:

Đường thẳng d có VTPT là n→(2; -3). Suy ra, VTCP của d là u→(3; 2) hoặc u→(-3; -2).

Ví dụ 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(4; 6).

Giải:

Vectơ AB→(4-1; 6-2) = (3; 4) là một VTCP của đường thẳng AB.

Ví dụ 3: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d:

Giải:
Từ hình vẽ, ta thấy đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (0; -1) và (3; 0). Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng là u→(3; 1).

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d có phương trình tham số:

x = 1 + 2t
y = 3 - t

Tìm một vectơ chỉ phương của d.

Giải:

Từ phương trình tham số, ta thấy VTCP của d là u→(2; -1).

Ví dụ 5: Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n→ = (-2; -5). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ vuông góc với d.

Giải: Vì đường thẳng ∆ vuông góc với d, nên VTCP của ∆ chính là VTPT của d. Vậy u→ = (-2; -5). Ngoài ra, mọi vectơ cùng phương với u→ cũng là VTCP của ∆, ví dụ u’→ = (2; 5).

D. Bài Tập Vận Dụng

Câu 1: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy?

A. u1→ = (1; 0). B. u2→ = (0; 1). C. u3→ = (1; 1). D. u4→ = (1; -1)

Câu 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2) và B( -3;6)?

A. u→( 1; 1). B. u→( 1; -1). C. u→( 2; -3). D. u→(- 1; 2).

Câu 3: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (4; -2). Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của d?

A. u1→ = (2; -4). B. u2→ = (-2; 4). C. u3→ = (1; 2). D. u4→ = (2; 1).

Câu 4: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3; -4). Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. n1→ = (4; 3). B. n2→ = (-4; -3). C. n3→ = (3; 4). D. n4→ = (3; – 4).

Câu 5: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d: 2x – 3y + 2018 = 0

A. u1→ = (-3; -2) . B. u2→ = (2; 3) . C. u3→ = (-3; 2) . D. u4→ = (2; -3) .

Hướng dẫn giải nhanh:

• Câu 1: B. Đường thẳng song song với Oy có dạng x = c, nên VTPT là (1; 0) và VTCP là (0; 1).
• Câu 2: B. Tính AB→ = (-4; 4), rút gọn được (1; -1).
• Câu 3: C. VTCP vuông góc với VTPT, đổi chỗ và đổi dấu một tọa độ của VTPT.
• Câu 4: D. VTPT của đường thẳng vuông góc là VTCP của đường thẳng ban đầu.
• Câu 5: A. Tìm VTPT (2; -3) sau đó suy ra VTCP là (-3; -2) hoặc (3; 2).

E. Bài Tập Tự Luyện Nâng Cao

Bài 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; –4) và B(–3; –7).

Bài 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm M(a ;b).

Bài 3. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(9; 4) và B(10; 7).

Bài 4. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→(5;-3). Tìm vectơ pháp tuyến của d.

Bài 5. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là u→(-2;7). Tìm vectơ chỉ phương của d.

Minh họa mối quan hệ vuông góc giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của một đường thẳng.

F. Ứng Dụng của Vectơ Chỉ Phương

Việc nắm vững Công Thức Tính Vectơ Chỉ Phương không chỉ giúp giải các bài tập hình học, mà còn có ứng dụng quan trọng trong:

• Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng: Dựa vào vectơ chỉ phương, ta có thể xác định hai đường thẳng song song, vuông góc, cắt nhau hoặc trùng nhau.
• Viết phương trình đường thẳng: Biết một điểm thuộc đường thẳng và một VTCP, ta có thể viết phương trình tham số hoặc phương trình tổng quát của đường thẳng đó.
• Giải các bài toán liên quan đến khoảng cách và góc: VTCP giúp tính toán khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, hoặc góc giữa hai đường thẳng.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa, bạn đã nắm vững công thức tính vectơ chỉ phương và có thể áp dụng vào giải các bài tập hình học một cách dễ dàng. Chúc bạn học tốt!