Cấp số cộng là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là ở lớp 11. Việc nắm vững công thức tính tổng các số hạng của cấp số cộng giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán liên quan và ứng dụng vào thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức về Công Thức Tính Tổng Số Hạng Của Cấp Số Cộng.
A. Lý thuyết cơ bản về công thức tính tổng số hạng của cấp số cộng
Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu là u1 và công sai là d. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng, ký hiệu là Sn, được tính theo công thức:
Alt text: Biểu thức toán học thể hiện công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: Sn = n/2 (2u1 + (n-1)d)*
Công thức này cho thấy tổng của n số hạng đầu tiên phụ thuộc vào số hạng đầu, công sai và số lượng số hạng.
Ngoài ra, ta còn có một cách tính khác, sử dụng số hạng cuối un:
Alt text: Công thức tính tổng cấp số cộng khi biết số hạng đầu (u1), số hạng cuối (un) và số số hạng (n): Sn = n/2 (u1 + un)*
Lưu ý: Để tính tổng các số hạng từ số hạng thứ x đến số hạng thứ y, ta cần xác định số lượng số hạng trong khoảng này. Công thức tính số số hạng từ x đến y là:
Alt text: Phương trình tính số lượng số hạng từ vị trí x đến y trong một cấp số cộng: (y – x) + 1
B. Ví dụ minh họa về công thức tính tổng số hạng của cấp số cộng
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) có u5 = -10 và u15 = 60. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này (S20).
Hướng dẫn giải:
Đầu tiên, ta cần tìm u1 và d. Sử dụng hệ phương trình:
Alt text: Hệ phương trình thiết lập từ thông tin u5 và u15 của cấp số cộng để giải tìm u1 và d
Từ u5 = u1 + 4d và u15 = u1 + 14d, ta có hệ:
Alt text: Hệ phương trình cụ thể với các giá trị đã biết của u5 và u15, sẵn sàng để giải tìm u1 và d
Giải hệ phương trình, ta được u1 = -38 và d = 7.
Vậy, tổng 20 số hạng đầu tiên là:
Alt text: Tính toán giá trị S20 bằng cách thay các giá trị u1, d và n vào công thức tổng cấp số cộng
S20 = (20/2) [2(-38) + (20-1)*7] = 570. Đáp án: C.
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn:
Alt text: Phương trình toán học thể hiện mối quan hệ giữa u1 và u2 trong cấp số cộng của ví dụ 2
Tính tổng S = u5 + u6 + … + u30.
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết, ta có: u1 + u2 = 2u1 + d = -8 và u3 + u5 = 2u1 + 6d = -24. Giải hệ phương trình này, ta được u1 = 2 và d = -12.
Alt text: Các bước giải hệ phương trình để tìm giá trị của u1 và d, sau đó tính được u5
Các số hạng u5, u6, …, u30 cũng tạo thành một cấp số cộng với 26 số hạng, số hạng đầu u5 = 2 + 4*(-3) = -10 và công sai d = -3.
Vậy, tổng S là:
Alt text: Áp dụng công thức tổng cấp số cộng để tính tổng S từ u5 đến u30
S = (26/2) [2(-10) + (26-1)*(-3)] = -1235. Đáp án: B.
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) có d = -2 và S8 = 72. Tính u1.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức tổng:
Alt text: Công thức tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (S8) và các bước biến đổi để tìm ra mối liên hệ với u1
Lại có: u8 = u1 + 7d => u8 – u1 = 7d = -14 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Alt text: Hệ phương trình gồm S8 và mối liên hệ giữa u1 và u8, giải ra để tìm giá trị của u1
Giải hệ phương trình, ta được u1 = 16. Đáp án: A.
(Các ví dụ 4-13 và bài tập trắc nghiệm được lược bỏ để tránh lặp lại, nhưng đều tuân theo cấu trúc trình bày tương tự: Đề bài, hướng dẫn giải chi tiết, đáp án).
C. Bài tập tự luyện về công thức tính tổng số hạng của cấp số cộng
Bài 1. Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của (un).
Bài 2. Cho cấp số cộng (un). Tìm u1 và công sai d biết tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là Sn = 2n2 – 5n.
Bài 3. Một cấp số cộng có 5 số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm tổng của cấp số cộng đó?
Bài 4. Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức Sn = 4n – n2. Hãy tìm số hạng thứ ba và công sai của cấp số cộng đó.
Bài 5. Cho cấp số cộng (un) có u2 + u22 = 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó?
Bài viết này đã cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về công thức tính tổng số hạng của cấp số cộng. Bằng cách nắm vững lý thuyết, xem xét các ví dụ minh họa và tự luyện tập, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan đến cấp số cộng. Chúc các bạn học tốt!