Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong hình học và đại số tuyến tính. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về Công Thức Tính Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng giúp bạn nắm vững kiến thức.
A. Định Nghĩa và Công Thức Tính Tích Vô Hướng của Hai Vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ u và v khác vectơ 0. Tích vô hướng của hai vectơ u và v, ký hiệu là u.v, là một số được xác định bởi công thức:
Trong đó:
- |u| và |v| lần lượt là độ dài của vectơ u và v.
- θ là góc giữa hai vectơ u và v.
Trường hợp u = 0 hoặc v = 0, ta quy ước u.v = 0.
B. Các Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa AB và DM.
Hướng dẫn giải
Giả sử cạnh của tứ diện là a.
Tam giác BCD đều ⇒ DM = (a√3)/2.
Tam giác ABC đều ⇒ AM = (a√3)/2.
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°. Xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và CD→ ?
A. 60° B. 45° C . 120° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và SA→.SB→ = SB→.SC→ = SC→.SA→. Xác định góc giữa cặp vectơ SC→ và AB→ ?
A. 120° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Xét:
Vậy SC và AB vuông góc với nhau
Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và ∠SAC = ∠SAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Vậy SA ⊥ BC
Chọn D
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AC = (3/2)AD, ∠CAB = ∠DAB = 60°, CD = AD. Gọi α là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?
A. cosα = (3/4) B. α = 60° C. α = 30° D. cosα = 1/4
Lời giải:
Chọn D
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?
A. 120° B. 90° C. 60° D. 45°
Lời giải:
Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD ⇒ IJ→ = (1/2)(IC→ + ID→)
Tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ CI ⊥ AB (1)
Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB (2)
Từ ( 1) và (2) ta có
Chọn B
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN ; SC) bằng
A. 45° B. 30° C. 90° D.60°
Lời giải:
Do ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AC = a√2
Ta có : AC2 = 2a2= SA2 + SC2
⇒ tam giác SAC vuông taị S.
Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA ⇒ MN→ = (1/2).SA→
Khi đó
Chọn C
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính AB→.EG→
Lời giải:
Ta có: EGCA là hình bình hành nên EG→ = AC→ ⇒ AB→.EG→ = AB→.AC→
Mặt khác AC→ = AB→ + AD→ ( quy tắc hình hộp) .
Suy ra
Chọn B
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị B1M→.BD1→ là:
Lời giải:
Chọn A
D. Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng
Ngoài việc tính góc giữa hai vectơ, tích vô hướng còn có nhiều ứng dụng khác trong toán học và vật lý, chẳng hạn như:
- Kiểm tra tính vuông góc: Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
- Tính công trong vật lý: Công của một lực tác dụng lên một vật thể có thể được tính bằng tích vô hướng của vectơ lực và vectơ độ dịch chuyển.
- Tìm hình chiếu vuông góc: Tích vô hướng được sử dụng để tìm hình chiếu vuông góc của một vectơ lên một vectơ khác.
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về công thức tính tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của nó trong giải toán hình học.
