Thể tích hình phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích và có nhiều ứng dụng thực tế. Việc tính thể tích này thường dựa trên tích phân, một công cụ mạnh mẽ trong giải tích toán học. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các công thức và phương pháp tính thể tích hình phẳng, đặc biệt là thể tích vật thể tròn xoay.
Phương Pháp Chung Để Tính Thể Tích Hình Phẳng
Để tính thể tích của một vật thể bất kỳ, ta có thể sử dụng phương pháp “cắt lát”. Ý tưởng cơ bản là chia vật thể thành nhiều lát mỏng song song với nhau, tính diện tích của mỗi lát, rồi tính tổng diện tích này bằng tích phân.
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, thể tích của vật thể B được tính theo công thức:
V = ∫ab S(x) dx
Các Trường Hợp Đặc Biệt: Thể Tích Khối Tròn Xoay
Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của tích phân là tính thể tích của khối tròn xoay. Khối tròn xoay là hình được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một trục cố định.
1. Quay quanh trục Ox:
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a ≤ b), thì thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng này quanh trục Ox là:
V = π ∫ab [f(x)]2 dx
Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox, x = 0, x = 1 quanh trục Ox.
Giải: V = π ∫01 (√x)2 dx = π ∫01 x dx = π [x2/2]01 = π/2
2. Quay quanh trục Oy:
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đường cong x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d (c ≤ d), thì thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng này quanh trục Oy là:
V = π ∫cd [g(y)]2 dy
3. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a ≤ b), với f(x) ≥ g(x) trên đoạn [a; b], thì thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng này quanh trục Ox là:
V = π ∫ab {[f(x)]2 – [g(x)]2} dx
Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√x; y=x quay quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Giải phương trình √x = x ⇔ x ∈ {0;1}.
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y=√x;y=x khi quay quanh trục Ox là
Ví Dụ Minh Họa và Bài Tập Vận Dụng
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức trên, chúng ta sẽ xét một số ví dụ và bài tập vận dụng.
Ví dụ 1: Tính thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=(1-x2 ), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox.
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường
y = (1-x2), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox là:
Ví dụ 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4 là:
Bài tập: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3, trục Ox, x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox.
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=x3, trục Ox, x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:
Lưu Ý Quan Trọng
- Luôn xác định rõ ràng các đường giới hạn hình phẳng và trục quay.
- Kiểm tra điều kiện của các hàm số (ví dụ: f(x) ≥ g(x) trên đoạn [a; b] khi tính thể tích giữa hai đường cong).
- Sử dụng đúng công thức tích phân tương ứng với từng trường hợp.
- Đổi cận tích phân phù hợp nếu có sự thay đổi biến số.
Kết Luận
Công Thức Tính Thể Tích Hình Phẳng, đặc biệt là thể tích khối tròn xoay, là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong hình học. Việc nắm vững các công thức và phương pháp tính toán sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến thể tích và ứng dụng thực tế của nó. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan và chi tiết về chủ đề này.