Tổng Hợp Công Thức Tính Phương Trình Đường Thẳng Chi Tiết Nhất

Để học tốt môn Toán lớp 10, việc nắm vững các Công Thức Tính Phương Trình đường Thẳng là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ tổng hợp đầy đủ và chi tiết các dạng phương trình đường thẳng, giúp bạn dễ dàng áp dụng vào giải các bài tập khác nhau.

1. Phương Trình Tổng Quát của Đường Thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mọi đường thẳng đều có thể biểu diễn dưới dạng phương trình tổng quát:

ax + by + c = 0

Trong đó, a và b không đồng thời bằng 0 (a² + b² > 0).

Vectơ pháp tuyến (VTPT): Vectơ n→ = (a; b) là VTPT của đường thẳng. VTPT là vectơ có giá vuông góc với đường thẳng.
Các trường hợp đặc biệt:
- by + c = 0: Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
- ax + c = 0: Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Oy.
- ax + by = 0: Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

Ảnh minh họa phương trình đường thẳng theo đoạn chắn cắt trục Ox tại điểm A(a, 0) và trục Oy tại điểm B(0, b).

Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) (a ≠ 0; b ≠ 0) có phương trình:

x/a + y/b = 1

2. Phương Trình Đường Thẳng Theo Hệ Số Góc

Nếu b ≠ 0 trong phương trình tổng quát ax + by + c = 0, ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:

y = kx + m

Trong đó:

k = -a/b là hệ số góc của đường thẳng, biểu thị độ dốc của đường thẳng so với trục Ox.
m = -c/b là tung độ gốc (giao điểm của đường thẳng với trục Oy).

3. Vị Trí Tương Đối của Hai Đường Thẳng

Cho hai đường thẳng:

Δ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0
Δ₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0

Để xét vị trí tương đối của Δ₁ và Δ₂, ta xét số nghiệm của hệ phương trình:

{ a1x + b1y + c1 = 0
{ a2x + b2y + c2 = 0

Hình ảnh minh họa hệ phương trình hai đường thẳng với các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 để xác định vị trí tương đối.

Các trường hợp:

Cắt nhau: Hệ có nghiệm duy nhất <=> a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
Song song: Hệ vô nghiệm <=> a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
Trùng nhau: Hệ có vô số nghiệm <=> a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

4. Phương Trình Tham Số của Đường Thẳng

Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và có vectơ chỉ phương (VTCP) là u→ = (a; b). Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

{ x = x0 + at
{ y = y0 + bt

Trong đó, t là tham số.

Ảnh minh họa công thức phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0, y0) với vectơ chỉ phương u(a, b).

5. Phương Trình Chính Tắc của Đường Thẳng

Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và có VTCP là u→ = (a; b) (với a ≠ 0, b ≠ 0). Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

(x - x0)/a = (y - y0)/b

Lưu ý: Nếu a = 0 hoặc b = 0, đường thẳng không có phương trình chính tắc.

Hình ảnh công thức phương trình chính tắc của đường thẳng với điểm đi qua M0(x0, y0) và vectơ chỉ phương u(a, b).

6. Liên Hệ Giữa Vectơ Chỉ Phương và Vectơ Pháp Tuyến

VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Nếu Δ có VTCP u→ = (a; b) thì n→ = (-b; a) hoặc n→ = (b; -a) là một VTPT của Δ.

7. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng

Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 được tính bởi công thức:

d(M, Δ) = |ax0 + by0 + c| / √(a² + b²)

Ảnh minh họa công thức tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng ax + by + c = 0.

8. Góc Giữa Hai Đường Thẳng

Góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ có VTPT n₁→ = (a₁; b₁) và n₂→ = (a₂; b₂) được tính theo công thức:

cos(Δ1, Δ2) = |a1a2 + b1b2| / (√(a1² + b1²) * √(a2² + b2²))

Hình ảnh minh họa công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng dựa trên vectơ pháp tuyến của chúng.

Lưu ý: Góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ.

Hy vọng với những công thức tính phương trình đường thẳng được tổng hợp đầy đủ và chi tiết trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập liên quan. Chúc bạn học tốt!