Hình lăng trụ đứng tam giác là một hình học không gian thường gặp trong chương trình Toán học và ứng dụng thực tiễn. Việc nắm vững công thức tính toán các yếu tố của nó là rất quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ đứng tam giác, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng.
1. Diện Tích Xung Quanh của Lăng Trụ Đứng Tam Giác
Diện tích xung quanh của lăng trụ đứng tam giác được tính bằng công thức:
- Sxq = Cđáy . h
Trong đó:
- Sxq: Diện tích xung quanh
- Cđáy: Chu vi đáy của tam giác (tổng độ dài ba cạnh của tam giác)
- h: Chiều cao của lăng trụ (khoảng cách giữa hai mặt đáy)
Công thức này xuất phát từ việc trải phẳng các mặt bên của lăng trụ, tạo thành một hình chữ nhật có chiều dài bằng chu vi đáy và chiều rộng bằng chiều cao của lăng trụ.
Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF có AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm và chiều cao AD = 7cm. Tính diện tích xung quanh của lăng trụ này.
Giải:
- Chu vi đáy: Cđáy = 3 + 4 + 5 = 12 cm
- Diện tích xung quanh: Sxq = 12 . 7 = 84 cm²
2. Diện Tích Toàn Phần của Lăng Trụ Đứng Tam Giác
Diện tích toàn phần của lăng trụ đứng tam giác là tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai mặt đáy.
- Stp = Sxq + 2 . Sđáy
Trong đó:
- Stp: Diện tích toàn phần
- Sxq: Diện tích xung quanh (đã tính ở trên)
- Sđáy: Diện tích của một mặt đáy tam giác
Lưu ý: Để tính diện tích đáy tam giác, ta cần xác định loại tam giác (tam giác thường, tam giác vuông, tam giác đều, tam giác cân) để áp dụng công thức phù hợp.
- Tam giác thường: Sử dụng công thức Heron hoặc công thức diện tích khi biết một cạnh và chiều cao tương ứng.
- Tam giác vuông: Sđáy = 1/2 . cạnh góc vuông 1 . cạnh góc vuông 2
- Tam giác đều: Sđáy = (cạnh² . √3) / 4
Quay lại ví dụ trên, giả sử tam giác ABC là tam giác vuông tại B, ta có thể tính diện tích toàn phần như sau:
- Diện tích đáy: Sđáy = 1/2 . 3 . 4 = 6 cm²
- Diện tích toàn phần: Stp = 84 + 2 . 6 = 96 cm²
3. Thể Tích của Lăng Trụ Đứng Tam Giác
Thể tích của lăng trụ đứng tam giác được tính bằng công thức:
- V = Sđáy . h
Trong đó:
- V: Thể tích
- Sđáy: Diện tích của một mặt đáy tam giác (tính tương tự như trên)
- h: Chiều cao của lăng trụ
Ví dụ: Một khối bê tông có dạng lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 7m và 24m, chiều cao của lăng trụ là 22m. Tính thể tích của khối bê tông.
Giải:
- Diện tích đáy: Sđáy = 1/2 . 7 . 24 = 84 m²
- Thể tích: V = 84 . 22 = 1848 m³
4. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập sau:
- Một chiếc hộp quà có dạng lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác đều cạnh 5cm, chiều cao của lăng trụ là 10cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hộp quà.
- Một bể nước có dạng lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 3m, chiều cao của bể là 2m. Tính thể tích nước tối đa mà bể có thể chứa.
5. Ứng Dụng Thực Tế
Công Thức Tính Lăng Trụ đứng Tam Giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
- Kiến trúc và xây dựng: Tính toán vật liệu xây dựng cho các công trình có hình dạng lăng trụ tam giác (mái nhà, vách ngăn,…).
- Thiết kế sản phẩm: Tính toán thể tích và diện tích bề mặt của các sản phẩm có hình dạng lăng trụ tam giác (hộp đựng, đồ trang trí,…).
- Tính toán khối lượng: Xác định khối lượng của các vật thể có hình dạng lăng trụ tam giác (khối bê tông, dầm gỗ,…).
Nắm vững các công thức và ví dụ trên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến lăng trụ đứng tam giác một cách dễ dàng và hiệu quả.