Khối tròn xoay là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, thường gặp trong chương trình Toán học phổ thông và các ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ và chi tiết về Công Thức Tính Khối Tròn Xoay, giúp bạn nắm vững kiến thức và giải quyết các bài tập liên quan một cách dễ dàng.
Khái niệm Khối Tròn Xoay
Khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một trục cố định. Các hình khối tròn xoay quen thuộc bao gồm:
- Khối nón: Tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông.
- Khối trụ: Tạo thành khi quay một hình chữ nhật quanh một cạnh.
- Khối cầu: Tạo thành khi quay một hình tròn quanh đường kính.
Hình ảnh minh họa các hình khối tròn xoay thường gặp, giúp dễ hình dung và ghi nhớ.
Công thức Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay
Để tính thể tích khối tròn xoay, ta có các công thức khác nhau tùy thuộc vào trục quay và hình phẳng được quay.
1. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Khi quay hình phẳng này quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay có thể tích được tính theo công thức:
Trong đó:
- V là thể tích khối tròn xoay.
- π là hằng số Pi (≈ 3.14159).
- f(x) là hàm số mô tả đường cong giới hạn hình phẳng.
- a, b là cận tích phân, xác định khoảng giới hạn của x.
Trường hợp đặc biệt, nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) (g(x) ≤ f(x) ∀ x ∈ [a, b]), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b, thì thể tích khối tròn xoay được tính bằng công thức:
2. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Oy
Tương tự, xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục Oy, và hai đường thẳng y = c, y = d (c < d). Khi quay hình phẳng này quanh trục Oy, ta được một khối tròn xoay có thể tích được tính theo công thức:
Trong đó:
- V là thể tích khối tròn xoay.
- π là hằng số Pi (≈ 3.14159).
- g(y) là hàm số mô tả đường cong giới hạn hình phẳng.
- c, d là cận tích phân, xác định khoảng giới hạn của y.
Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số x = f(y) và x = g(y) (g(y) ≤ f(y) ∀ y ∈ [c, d]), trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d, thì thể tích khối tròn xoay được tính bằng công thức:
Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = 1 – x2, y = 0, x = 0 và x = 1 quanh trục Ox.
Giải:
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox:
Thay các giá trị vào, ta có:
Vậy thể tích khối tròn xoay là 16π/15.
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi x = 2/y, trục Oy, y = 1 và y = 4 quanh trục Oy.
Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, y = -x + 2, y = 0 quanh trục Oy.
Ví dụ 4: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và đường thẳng x=1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi xoay (H) quanh trục Ox.
Ví dụ 5: Thể tích V của khối tròn xoay được hình thành bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi , y=0, x=4 và trục Ox. Đường thẳng x=a (0 tại M. Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay tam giác MOH quanh trục Ox. Biết rằng V=2V1. Tính a?
Lưu ý khi tính thể tích khối tròn xoay
- Xác định chính xác hàm số và cận tích phân.
- Kiểm tra xem hình phẳng được quay quanh trục Ox hay Oy để áp dụng công thức phù hợp.
- Trong trường hợp hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường cong, cần chia nhỏ và tính thể tích từng phần rồi cộng lại.
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã nắm vững công thức tính khối tròn xoay và có thể áp dụng vào giải các bài tập một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
