Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn Công Thức Tính Góc Giữa Hai Vectơ một cách chi tiết và dễ hiểu nhất, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức.
Phương Pháp Giải Quyết Bài Toán Góc Giữa Hai Vectơ
Có hai phương pháp chính để tính góc giữa hai vectơ:
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ
Định nghĩa này là nền tảng để hiểu về góc giữa hai vectơ.
Định nghĩa: Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ đều khác vectơ-không. Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ các vectơ $overrightarrow{OA} = overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{OB} = overrightarrow{b}$. Khi đó số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$, hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$.
Alt: Hình minh họa góc AOB tạo bởi hai vector OA và OB xuất phát từ gốc O, thể hiện định nghĩa góc giữa hai vector.
Phương pháp 2: Sử dụng tọa độ vectơ và công thức tính cosin
Phương pháp này đặc biệt hữu dụng khi bạn đã biết tọa độ của các vectơ.
Công thức: Cho hai vectơ $overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$ và $overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$. Khi đó:
$cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{overrightarrow{a}.overrightarrow{b}}{|overrightarrow{a}|.|overrightarrow{b}|} = frac{x_1x_2 + y_1y_2}{sqrt{x_1^2 + y_1^2}.sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$
Alt: Biểu thức toán học thể hiện công thức cosin góc giữa hai vector a và b thông qua tích vô hướng và độ dài của chúng.
Lưu ý quan trọng: Góc giữa hai vectơ luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 180°. Điều này giúp bạn xác định góc chính xác sau khi tính được giá trị cosin.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Hãy tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{BC}$.
Alt: Hình vẽ tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A, minh họa bài toán tính góc giữa hai vector AB và BC.
Hướng dẫn giải:
Bài toán này đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức hình học và vectơ.
Alt: Phân tích hướng đi của vector AB và vector BC trong tam giác vuông cân ABC.
Alt: Hình vẽ minh họa cách xác định góc giữa hai vector AB và BC bằng cách kéo dài vector BC.
Để giải quyết, ta cần xác định hướng của các vectơ. Vì tam giác ABC vuông cân tại A, góc ABC bằng 45°. Góc giữa $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{BC}$ là góc ngoài tại đỉnh B, do đó bằng 180° – 45° = 135°.
Ví dụ 2: Cho các vectơ $overrightarrow{a} = (1; 2)$ và $overrightarrow{b} = (3; -1)$. Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ:
$cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{13 + 2(-1)}{sqrt{1^2 + 2^2}.sqrt{3^2 + (-1)^2}} = frac{1}{sqrt{5}.sqrt{10}} = frac{1}{5sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{10}$
Vậy góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là góc $alpha in [0°;180°]$ thỏa mãn $cos(alpha) = frac{sqrt{2}}{10}$. Sử dụng máy tính, ta tìm được $alpha approx 81.87°$.
Alt: Phương trình tính cosin góc alpha giữa hai vector a và b dựa trên tọa độ của chúng.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $overrightarrow{a} = (1; 1)$ và $overrightarrow{b} = (0; 1)$. Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$.
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 30°
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức:
$cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{10 + 11}{sqrt{1^2 + 1^2}.sqrt{0^2 + 1^2}} = frac{1}{sqrt{2}.1} = frac{sqrt{2}}{2}$
Vậy góc giữa hai vectơ là 45°.
Đáp án A
Alt: Cách tính cosin góc giữa hai vector a và b với tọa độ cụ thể, dẫn đến kết quả góc 45 độ.
Bài Tập Tự Luyện
Dưới đây là một số bài tập giúp bạn rèn luyện kỹ năng tính góc giữa hai vectơ:
Bài 1. Cho tam giác đều ABC. Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$.
Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AC}$ và $overrightarrow{BD}$.
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(3; -1). Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{OA}$ và $overrightarrow{OB}$ (O là gốc tọa độ).
Bài 4. Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ có độ dài lần lượt là 2 và 3, góc giữa hai vectơ là 60°. Tính tích vô hướng của hai vectơ và từ đó suy ra góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a} + overrightarrow{b}$ và $overrightarrow{a} – overrightarrow{b}$.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Chúc bạn học tốt và nắm vững kiến thức về công thức tính góc giữa hai vectơ!
