Trong hình học giải tích, việc xác định góc giữa hai đường thẳng là một bài toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn các phương pháp và Công Thức Tính Góc Giữa Hai đường Thẳng một cách chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn có thể nắm vững kiến thức.
A. Các Phương Pháp Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Có hai phương pháp chính để tính góc giữa hai đường thẳng d và d’:
1. Sử dụng Vector Pháp Tuyến
-
Bước 1: Xác định vector pháp tuyến của hai đường thẳng.
- Gọi $vec{n} = (x; y)$ là vector pháp tuyến của đường thẳng d.
- Gọi $vec{n’} = (x’; y’)$ là vector pháp tuyến của đường thẳng d’.
-
Bước 2: Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vector pháp tuyến:
Trong đó, $alpha$ là góc giữa hai đường thẳng d và d’. Hình ảnh minh họa công thức tính cosin góc giữa hai vector pháp tuyến $vec{n}$ và $vec{n’}$.
2. Sử dụng Hệ Số Góc
-
Bước 1: Xác định hệ số góc của hai đường thẳng.
- Gọi $k_1$ là hệ số góc của đường thẳng d.
- Gọi $k_2$ là hệ số góc của đường thẳng d’.
-
Bước 2: Áp dụng công thức tính tang góc giữa hai đường thẳng:
Trong đó, $alpha$ là góc giữa hai đường thẳng d và d’. Hình ảnh minh họa công thức tính tang của góc giữa hai đường thẳng dựa vào hệ số góc $k_1$ và $k_2$.
Lưu ý: Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc vuông, do đó ta luôn lấy giá trị tuyệt đối trong công thức để đảm bảo kết quả là dương.
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 3x + y – 2 = 0 và (b): 2x – y + 39 = 0.
Hướng dẫn giải:
-
Đường thẳng (a): 3x + y – 2 = 0 có VTPT $vec{n_a} = (3; 1)$.
-
Đường thẳng (b): 2x – y + 39 = 0 có VTPT $vec{n_b} = (2; -1)$.
cos(a; b) = $|cos(vec{n_a}; vec{n_b})| =$
Vậy góc giữa hai đường thẳng (a) và (b) là 45 độ. Hình ảnh minh họa cách áp dụng công thức cosin để tính góc giữa hai đường thẳng với vector pháp tuyến cụ thể.
Ví dụ 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng $Delta_1 : 10x + 5y – 1 = 0$ và $Delta_2 : x = 1 + t; y = t$.
Hướng dẫn:
-
Vectơ pháp tuyến của $Delta_1$ là $vec{n_1} = (10; 5)$, hay $vec{n_1} = (2; 1)$.
-
Vectơ chỉ phương của $Delta_2$ là $vec{u_2} = (1; 1)$, suy ra vectơ pháp tuyến của $Delta_2$ là $vec{n_2} = (1; -1)$.
cos($Delta_1; Delta_2$) = $|cos(vec{n_1}, vec{n_2})| =$
Vậy côsin góc giữa hai đường thẳng $Delta_1$ và $Delta_2$ là $frac{sqrt{10}}{10}$. Hình ảnh minh họa cách tính cosin góc giữa hai đường thẳng khi biết phương trình tham số.
Ví dụ 3: Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0 .
Lời giải:
-
Đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 có VTPT $vec{n_1} = (3; 1)$.
-
Đường thẳng: 4x – 2y + 10 = 0 có VTPT $vec{n_2} = (4; -2)$.
cos(d1, d2) = $|cos(vec{n_1}, vec{n_2})| =$
Vậy góc giữa hai đường thẳng là 45 độ. Hình ảnh minh họa cách tính góc giữa hai đường thẳng khi biết phương trình tổng quát.
Ví dụ 4: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 3y – 9 = 0 và d2: x = 1 + t; y = 1 – t.
Lời giải:
-
Vectơ pháp tuyến của d1 là $vec{n_1} = (1; 3)$.
-
Vectơ chỉ phương của d2 là $vec{u_2} = (1; -1)$, suy ra vectơ pháp tuyến của d2 là $vec{n_2} = (1; 1)$.
Cos( d1; d2) = $|cos(vec{n_1}, vec{n_2})| =$
Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng là $frac{sqrt{5}}{5}$. Hình ảnh minh họa việc áp dụng công thức để tìm cosin góc giữa hai đường thẳng khi một đường thẳng cho dưới dạng tham số.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 2y – 7 = 0 và d2: 2x – 4y + 9 = 0.
Lời giải:
-
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là $vec{n_1} = (1; 2)$.
-
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là $vec{n_2} = (2; -4)$.
cosφ =
Câu 2: Tìm góc giữa đường thẳng d: 6x – 5y + 15 = 0 và $Delta_2: x = 5 + 5t; y = 6t$.
Lời giải:
-
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $vec{n_1} = (6; -5)$.
-
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $Delta_2$ là $vec{n_2} = (-6; -5)$.
Ta có $vec{n_1} cdot vec{n_2} = 6(-6) + (-5)(-5) = -36 + 25 = -11$
$|vec{n_1}| = sqrt{61}$, $|vec{n_2}| = sqrt{61}$.
Vậy $cos(alpha) = frac{|-11|}{61}$.
Câu 3: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng $d_1: x = 1 + 3t; y = 2 + 4t$ và $d_2: x = 2 + t; y = 3 + t$.
Lời giải:
-
Vectơ chỉ phương của d1 là $vec{u_1} = (3; 4)$.
-
Vectơ chỉ phương của d2 là $vec{u_2} = (1; 1)$.
Cos( d1; d2) = $|cos(vec{u_1}; vec{u_2})| =$
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 5x + 2y – 3 = 0 và (b): 2x + y + 7 = 0.
Bài 2. Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: 10x + 5y – 1 = 0 và d2: {x = 2t + 3; y = 3 + t}.
Bài 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 5x + 2y – 7 = 0 và 3x – 5y + 6 = 0.
Bài 4. Cho đường thẳng (a): 3x + 2y – 10 = 0 và đường thẳng (b): 5x + my + 9 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45°?
Bài 5. Cho đường thẳng (a): y = 3x + 5 và (b): y = –2x + 4. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).
Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về công thức tính góc giữa hai đường thẳng và áp dụng thành công vào giải các bài tập liên quan.
