Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn đầy đủ và dễ hiểu về Công Thức Tính Góc Giữa đường Thẳng Và Mặt Phẳng trong không gian Oxyz, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức.
A. Lý Thuyết Cơ Bản
Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta cần nắm vững các khái niệm sau:
-
Vectơ chỉ phương của đường thẳng (u→): Là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng.
-
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (n→): Là vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng.
-
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (φ): Là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Góc này luôn nằm trong khoảng [0°, 90°].
Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u→ = (a₁, a₂, a₃) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n→ = (A, B, C). Góc φ giữa d và (P) được tính theo công thức:
sin(φ) = |(u→ . n→)| / (|u→| * |n→|)
Trong đó:
- u→ . n→ = a₁A + a₂B + a₃C (tích vô hướng của hai vectơ)
- |u→| = √(a₁² + a₂² + a₃²) (độ dài của vectơ u→)
- |n→| = √(A² + B² + C²) (độ dài của vectơ n→)
Từ sin(φ), ta có thể suy ra góc φ bằng cách sử dụng hàm arcsin (sin⁻¹).
Hình ảnh minh họa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trong không gian Oxyz, giúp hình dung rõ hơn về khái niệm này.
B. Các Bước Thực Hiện
-
Xác định vectơ chỉ phương u→ của đường thẳng d. Nếu đường thẳng được cho dưới dạng phương trình tham số, vectơ chỉ phương chính là hệ số của tham số t. Nếu đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng, vectơ chỉ phương là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó.
-
Xác định vectơ pháp tuyến n→ của mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng được cho dưới dạng phương trình tổng quát, vectơ pháp tuyến chính là hệ số của x, y, z.
-
Tính tích vô hướng u→ . n→.
-
Tính độ dài của vectơ u→ và n→.
-
*Áp dụng công thức sin(φ) = |(u→ . n→)| / (|u→| |n→|) để tính sin(φ).**
-
Tìm góc φ bằng cách sử dụng hàm arcsin (sin⁻¹). Lưu ý, φ phải nằm trong khoảng [0°, 90°].
C. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tính góc giữa đường thẳng d: x=1+ty=−1+3tz=2−t và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0.
Giải:
- Vectơ chỉ phương của d: u→ = (1, 3, -1)
- Vectơ pháp tuyến của (P): n→ = (2, -1, 2)
- u→ . n→ = 12 + 3(-1) + (-1)*2 = 2 – 3 – 2 = -3
- |u→| = √(1² + 3² + (-1)²) = √11
- |n→| = √(2² + (-1)² + 2²) = √9 = 3
- sin(φ) = |-3| / (√11 * 3) = 1 / √11
- φ = arcsin(1 / √11) ≈ 17.63°
Vậy góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là khoảng 17.63°.
Hình ảnh minh họa công thức tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giúp dễ dàng ghi nhớ và áp dụng.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x−22=y+13=z−15 và mặt phẳng (α): 2x + y + z – 8 = 0. Tính góc giữa d và (α).
Giải:
- Vectơ chỉ phương của d: u→ = (2, 3, 5)
- Vectơ pháp tuyến của (α): n→ = (2, 1, 1)
- u→ . n→ = 22 + 31 + 5*1 = 4 + 3 + 5 = 12
- |u→| = √(2² + 3² + 5²) = √38
- |n→| = √(2² + 1² + 1²) = √6
- sin(φ) = |12| / (√38 √6) = 12 / √(386) = 12 / √228 ≈ 0.79
- φ = arcsin(0.79) ≈ 52.19°
Vậy góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là khoảng 52.19°.
D. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Tính cosin góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0 biết d có phương trình: x=1+ty=−1+3tz=2−t. (Đề đã giải ở trên, bạn có thể làm lại để luyện tập)
Bài 2: Cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z + 2 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (α): x – 2y + 1 = 0, (β): x – 2z – 3 = 0. Gọi φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tính góc φ?
Bài 3: Cho đường thẳng d: x1=y−2=z1 và mặt phẳng (P): 5x + 11y + 2z – 4 = 0. Tính góc giữa đường thẳng d và (P)?
Hình ảnh bài tập vận dụng giúp học sinh ôn luyện và nắm vững kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
E. Lưu Ý Quan Trọng
- Luôn kiểm tra xem vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến đã được xác định đúng hay chưa.
- Khi tính tích vô hướng, hãy cẩn thận với dấu của các thành phần.
- Đảm bảo rằng góc φ nằm trong khoảng [0°, 90°]. Nếu kết quả arcsin trả về một giá trị âm, hãy lấy giá trị tuyệt đối của nó.
F. Ứng Dụng Thực Tế
Việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
- Xây dựng: Tính toán độ dốc của mái nhà, góc nghiêng của đường đi.
- Cơ khí: Thiết kế các bộ phận máy móc, tính toán lực tác dụng.
- Đồ họa máy tính: Xác định hướng ánh sáng, tạo hiệu ứng đổ bóng.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Chúc bạn học tốt!
