Trong hình học, đường tròn nội tiếp tam giác là một khái niệm quan trọng, và việc tính bán kính của nó có nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các công thức và phương pháp tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn đọc nắm vững kiến thức.
1. Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác qua diện tích
Đây là phương pháp phổ biến nhất để tính bán kính đường tròn nội tiếp. Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh BC = a, CA = b, và AB = c. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, và p là nửa chu vi tam giác, được tính bằng công thức: p = (a + b + c) / 2.
Khi đó, diện tích S của tam giác ABC liên hệ với bán kính r theo công thức: S = p * r. Suy ra, bán kính đường tròn nội tiếp được tính bằng:
r = S / p
Để tính diện tích S, ta có thể sử dụng nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào dữ kiện bài toán, ví dụ như công thức Heron nếu biết độ dài ba cạnh.
2. Ví dụ minh họa cách tính bán kính đường tròn nội tiếp
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 7 và BC = 11. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Đầu tiên, tính nửa chu vi của tam giác: p = (6 + 7 + 11) / 2 = 12.
Sử dụng công thức Heron để tính diện tích: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(12(12-6)(12-7)(12-11)) = √(12 6 5 * 1) = √360 = 6√10.
Cuối cùng, tính bán kính đường tròn nội tiếp: r = S / p = (6√10) / 12 = √10 / 2.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R, sau đó tính tỉ số R/r.
Hướng dẫn giải:
Trong tam giác đều, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. Đường cao của tam giác đều cũng là đường trung tuyến, đường phân giác.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = (a√3)/3.
Bán kính đường tròn nội tiếp r = (a√3)/6.
Vậy, R/r = 2.
Ví dụ 3: Cho tam giác DEF có góc D = 60 độ, ED = 6, EF = 12.
a) Tính cạnh DF.
b) Tính diện tích tam giác DEF.
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng định lý cosin: DF² = DE² + EF² – 2.DE.EF.cosD = 6² + 12² – 2.6.12.cos60° = 36 + 144 – 72 = 108. Vậy DF = √108 = 6√3.
b) Diện tích tam giác DEF: S = (1/2).DE.EF.sinD = (1/2).6.12.(√3/2) = 18√3.
c) Nửa chu vi tam giác DEF: p = (DE + EF + DF)/2 = (6 + 12 + 6√3)/2 = 9 + 3√3. Bán kính đường tròn nội tiếp r = S/p = (18√3)/(9 + 3√3) = (6√3)/(3 + √3) = (6√3(3 – √3))/(9 – 3) = (18√3 – 18)/6 = 3√3 – 3 = 3(√3 – 1).
3. Các công thức khác liên quan đến đường tròn nội tiếp
Ngoài công thức diện tích, còn có một số công thức khác để tính bán kính đường tròn nội tiếp, tùy thuộc vào thông tin đã biết của tam giác.
- Tam giác vuông: Nếu tam giác ABC vuông tại A, bán kính đường tròn nội tiếp r = (AB + AC – BC) / 2.
- Tam giác đều: Nếu tam giác ABC đều cạnh a, bán kính đường tròn nội tiếp r = (a√3) / 6.
4. Bài tập tự luyện
Để củng cố kiến thức, bạn đọc có thể thử sức với các bài tập sau:
- Cho tam giác ABC có AB = 8, AC = 9 và BC = 13. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, BC = 9. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh bằng 6.
- Tam giác ABC cân tại A có độ dài AB = AC = 5. Biết góc A bằng 30°, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
5. Ứng dụng của Công Thức Tính đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác
Công thức tính đường tròn nội tiếp tam giác không chỉ là một bài toán hình học thuần túy, mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
- Xây dựng: Tính toán kích thước các chi tiết trong thiết kế kiến trúc, cầu đường.
- Cơ khí: Thiết kế các bộ phận máy móc có hình dạng tam giác.
- Trắc địa: Tính toán diện tích và khoảng cách trên bản đồ.
Nắm vững công thức và phương pháp tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán hình học và ứng dụng thực tế một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng của mình.