1. Định nghĩa độ dài vectơ
Độ dài của một vectơ, ký hiệu là |AB|, chính là khoảng cách giữa điểm đầu A và điểm cuối B của vectơ đó. Nói cách khác, nó thể hiện “độ lớn” của vectơ.
2. Công Thức Tính độ Dài Vectơ Ab trong hệ tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Vectơ AB có tọa độ là (xB – xA; yB – yA). Khi đó, công thức tính độ dài vectơ AB được xác định như sau:
|AB| = √[(xB – xA)² + (yB – yA)²]
Công thức này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vectơ và hình học phẳng.
Alt: Hình ảnh minh họa công thức tính độ dài vectơ AB bằng căn bậc hai của tổng bình phương hiệu tọa độ x và y của hai điểm A và B trong mặt phẳng Oxy.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 6). Tính độ dài vectơ AB.
Áp dụng công thức, ta có:
|AB| = √[(4 – 1)² + (6 – 2)²] = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Vậy, độ dài vectơ AB là 5 đơn vị.
Ví dụ 2: Cho vectơ u = (3; -4). Tính độ dài của vectơ u.
Ta có thể xem vectơ u như vectơ AB với A(0; 0) và B(3; -4). Áp dụng công thức:
|u| = √[(3 – 0)² + (-4 – 0)²] = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Vậy, độ dài vectơ u là 5 đơn vị.
4. Ứng dụng của công thức tính độ dài vectơ AB
- Tính khoảng cách giữa hai điểm: Công thức tính độ dài vectơ AB cũng chính là công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mặt phẳng tọa độ.
- Xác định độ lớn của lực, vận tốc: Trong vật lý, vectơ thường được sử dụng để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc. Độ dài vectơ thể hiện độ lớn của các đại lượng này.
- Chứng minh các tính chất hình học: Công thức này được sử dụng để chứng minh các tính chất liên quan đến độ dài đoạn thẳng, chẳng hạn như tính chất của tam giác, hình bình hành, hình thoi,…
- Giải các bài toán liên quan đến hình học giải tích: Trong hình học giải tích, việc tính toán độ dài đoạn thẳng là một bước quan trọng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp.
5. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho A(-2; 3) và B(1; -1). Tính độ dài vectơ AB.
Bài 2: Cho vectơ v = (-5; 12). Tính |v|.
Bài 3: Tam giác ABC có A(1; 1), B(4; 5) và C(-3; 2). Tính chu vi tam giác ABC.
Alt: Hình vẽ tam giác ABC với các đỉnh có tọa độ cụ thể, thể hiện bài toán ứng dụng công thức độ dài vectơ để tính chu vi tam giác.
Lời giải gợi ý:
Bài 1: |AB| = √[(1 – (-2))² + (-1 – 3)²] = √(3² + (-4)²) = 5
Bài 2: |v| = √[(-5)² + 12²] = √(25 + 144) = 13
Bài 3: Tính độ dài các cạnh AB, BC, CA bằng công thức độ dài vectơ, sau đó cộng lại để được chu vi.
6. Lưu ý quan trọng
- Luôn kiểm tra kỹ tọa độ của các điểm trước khi áp dụng công thức.
- Nhớ rằng độ dài vectơ luôn là một số không âm.
- Công thức này chỉ áp dụng trong hệ tọa độ vuông góc Oxy.
Nắm vững công thức tính độ dài vectơ AB và các ứng dụng của nó sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ và hình học một cách dễ dàng. Chúc bạn học tốt!
