Công Thức Tính độ Dài đường Sinh Của Hình Nón là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12, đặc biệt hữu ích cho việc giải các bài tập liên quan đến hình học không gian. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về công thức này, kèm theo các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết.
1. Công thức tính đường sinh hình nón
Cho một hình nón có bán kính đáy là r và chiều cao là h. Độ dài đường sinh l của hình nón được tính theo công thức sau, dựa trên định lý Pytago:
l = √(r² + h²)
Công thức này cho thấy, đường sinh l là cạnh huyền của một tam giác vuông, với hai cạnh góc vuông là bán kính đáy r và chiều cao h của hình nón. Việc hiểu rõ mối quan hệ này giúp ta dễ dàng áp dụng công thức vào giải bài tập.
2. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp và Cách Giải
a. Tính độ dài đường sinh khi biết chiều cao và bán kính đáy
Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, áp dụng trực tiếp công thức đã nêu ở trên.
Ví dụ 1: Một hình nón có bán kính đáy là 6 cm và chiều cao là 8 cm. Hãy tính độ dài đường sinh của hình nón này.
Lời giải:
Áp dụng công thức: l = √(r² + h²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
Vậy, độ dài đường sinh của hình nón là 10 cm.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AH = 12 cm. Hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AB có đường sinh bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Đặt AB = 3x, AC = 4x => BC = 5x (theo định lý Pytago).
Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng hai cách: (AB AC) / 2 = (AH BC) / 2
=> AB AC = AH BC => 3x 4x = 12 5x => 12x² = 60x => x = 5 (vì x khác 0).
Vậy BC = 5x = 25 cm. Đường sinh của hình nón là BC = 25 cm.
b. Hình nón có đường sinh tạo với trục một góc α
Trong trường hợp này, ta cần sử dụng các kiến thức về lượng giác để tìm mối liên hệ giữa đường sinh, bán kính đáy và chiều cao.
Khi đó: r = l sin(α) hoặc h = l cos(α)
c. Hình nón có đường sinh tạo với đáy một góc α
Tương tự như trên, ta sử dụng lượng giác để giải quyết bài toán.
a = ∠OMI => r = l * cos(α)
Ví dụ: Tính độ dài đường sinh của hình nón có chu vi đáy là 6π và góc giữa đường sinh với đáy bằng 45°.
Lời giải:
Chu vi đáy C = 2πr = 6π => r = 3.
Góc giữa đường sinh và đáy là 45° => h = r = 3 (vì tan(45°) = 1).
Độ dài đường sinh là: l = √(r² + h²) = √(3² + 3²) = √(18) = 3√2.
d. Thiết diện qua trục là tam giác đặc biệt
Trong trường hợp này, ta có thể tận dụng các tính chất của tam giác đặc biệt (vuông, đều) để tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố của hình nón.
- Tam giác vuông: l = r√2 = h√2
- Tam giác đều: l = 2r hoặc h = l√3/2
Ví dụ: Cho hình nón có chiều cao bằng 3. Tính độ dài đường sinh trong các trường hợp sau:
a. Thiết diện qua trục là một tam giác vuông
b. Thiết diện qua trục là một tam giác đều
Lời giải:
a. Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên l = h√2 = 3√2.
b. Do thiết diện qua trục là tam giác đều nên h = l√3/2 => 3 = l√3/2 => l = 2√3.
Kết luận
Nắm vững công thức tính độ dài đường sinh của hình nón và các dạng bài tập liên quan sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán hình học không gian. Việc luyện tập thường xuyên và áp dụng linh hoạt các kiến thức lượng giác, định lý Pytago là chìa khóa để đạt được kết quả tốt.