Công Thức Tính Độ Dài Vectơ và Ứng Dụng Trong Tọa Độ Oxy

Độ dài của vectơ là một khái niệm cơ bản trong hình học và đại số tuyến tính. Nó thể hiện khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về cách tính độ dài vectơ, đặc biệt trong hệ tọa độ Oxy, cùng với các ví dụ minh họa chi tiết.

1. Định Nghĩa và Phương Pháp Tính Độ Dài Vectơ

1.1. Định Nghĩa Độ Dài Vectơ

Độ dài của vectơ, ký hiệu là |v|, là một số thực không âm biểu thị khoảng cách giữa điểm gốc và điểm ngọn của vectơ đó.

1.2. Tính Độ Dài Vectơ Trong Hệ Tọa Độ

Cho vectơ v = (x; y) trong hệ tọa độ Oxy. Độ dài của vectơ v được tính theo công thức:

|v| = √(x² + y²)

1.3. Các Trường Hợp Đặc Biệt

• Vectơ không: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, do đó độ dài bằng 0.
• Vectơ đơn vị: Vectơ có độ dài bằng 1.

2. Khoảng Cách Giữa Hai Điểm Trong Hệ Tọa Độ Oxy

2.1. Công Thức Tính Khoảng Cách

Khoảng cách giữa hai điểm M(x_M; y_M) và N(x_N; y_N) trong hệ tọa độ Oxy được tính bằng công thức:

MN = √((x_N – x_M)² + (y_N – y_M)²)

Công thức này thực chất là ứng dụng của công thức tính độ dài vectơ, vì khoảng cách MN chính là độ dài của vectơ MN.

2.2. Ứng Dụng của Khoảng Cách Giữa Hai Điểm

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học giải tích, chẳng hạn như:

• Xác định loại tam giác (đều, cân, vuông).
• Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
• Chứng minh các tính chất hình học.

3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho vectơ u = (4; 1) và v = (1; 4). Tính độ dài vectơ w = u – v.

Giải:

w = (4 – 1; 1 – 4) = (3; -3)

|w| = √(3² + (-3)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2

Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai điểm M(1; -2) và N(-3; 4).

Giải:

MN = √((-3 – 1)² + (4 – (-2))²) = √((-4)² + (6)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; 2), C(5; 4). Tính chu vi của tam giác ABC.

Giải:

AB = √((3 – 1)² + (2 – 4)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

BC = √((5 – 3)² + (4 – 2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

CA = √((1 – 5)² + (4 – 4)²) = √(16 + 0) = √16 = 4

Chu vi P = AB + BC + CA = 2√2 + 2√2 + 4 = 4√2 + 4

4. Bài Tập Tự Luyện

1. Cho vectơ a = (-2; 5). Tính độ dài vectơ a.
2. Tính khoảng cách giữa hai điểm P(0; -3) và Q(4; 0).
3. Cho tam giác DEF có D(-1; -1), E(2; 3), F(5; -1). Chứng minh tam giác DEF là tam giác vuông.

Kết Luận

Hiểu rõ về Công Thức Tính độ Dài Của Vectơ và khoảng cách giữa hai điểm là vô cùng quan trọng trong học toán và ứng dụng vào các lĩnh vực khác. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức cần thiết và các ví dụ minh họa dễ hiểu. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này.