Trong chương trình Toán lớp 10, việc nắm vững các công thức tính diện tích tam giác là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ tổng hợp và trình bày một cách chi tiết nhất các công thức này, giúp các em học sinh dễ dàng áp dụng vào giải các bài tập khác nhau.
1. Các Công Thức Tính Diện Tích Tam Giác Cơ Bản
Cho tam giác ABC với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao ứng với các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. Dưới đây là các công thức thường được sử dụng:
-
Công thức 1: Sử dụng chiều cao và cạnh đáy
S = (1/2) a ha = (1/2) b hb = (1/2) c hc
Trong đó:- S là diện tích tam giác
- a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác
- ha, hb, hc là độ dài đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c.
Alt: Hình vẽ minh họa tam giác ABC với đường cao ha và cạnh đáy a, chú thích công thức diện tích S = 1/2 a ha.
-
Công thức 2: Sử dụng hai cạnh và góc xen giữa
S = (1/2) a b sin(C) = (1/2) b c sin(A) = (1/2) c a * sin(B)
Trong đó:- A, B, C là các góc của tam giác.
2. Công Thức Heron
Công thức Heron cho phép tính diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh.
-
Bước 1: Tính nửa chu vi (p)
p = (a + b + c) / 2
-
Bước 2: Tính diện tích (S)
S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)]
3. Công Thức Liên Quan Đến Đường Tròn Nội Tiếp và Ngoại Tiếp
-
Diện tích tam giác và bán kính đường tròn nội tiếp (r)
S = p * r
Trong đó:- p là nửa chu vi tam giác
-
Diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp (R)
S = (a b c) / (4R)
4. Ứng Dụng Vectơ để Tính Diện Tích Tam Giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Khi đó:
-
Bước 1: Tính tọa độ các vectơ AB và AC
- AB = (xB – xA; yB – yA)
- AC = (xC – xA; yC – yA)
-
Bước 2: Tính diện tích tam giác
S = (1/2) * |(xB – xA)(yC – yA) – (xC – xA)(yB – yA)|
5. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AC = 3, AB = 5, cosA = . Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
- Tính sinA: Vì sin2A + cos2A = 1, suy ra sinA = √(1 – cos2A) = √(1 – (7/16)) = √(9/16) = 3/4 (do A là góc trong tam giác nên sinA > 0).
- Áp dụng công thức: S = (1/2) AB AC sinA = (1/2) 5 3 (3/4) = 45/8.
Alt: Tam giác ABC với AB=5, AC=3 và góc A, hình minh họa cho ví dụ tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và cos góc xen giữa.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; -2), B(-2; 3), C(0; 4). Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
- Tính AB = (-2 – 1; 3 – (-2)) = (-3; 5)
- Tính AC = (0 – 1; 4 – (-2)) = (-1; 6)
- S = (1/2) |(-3 6) – (-1 5)| = (1/2) |-18 + 5| = (1/2) * |-13| = 13/2.
6. Bài Tập Tự Luyện
- Tam giác ABC có AB = 2, AC = 5, góc BAC = 60°. Tính diện tích tam giác ABC.
- Tam giác ABC có AB = 21, AC = 17, BC = 10. Tính diện tích của tam giác ABC.
- Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 6 cm.
- Tam giác ABC có BC = a và AC = b. Tìm giá trị góc C để diện tích tam giác ABC là lớn nhất.
Lời Kết
Việc nắm vững các Công Thức Tính Diện Tích Tam Giác Lớp 10 là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em học sinh một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các công thức này, giúp các em tự tin hơn trong học tập. Chúc các em học tốt!
