Tích có hướng là một công cụ mạnh mẽ trong hình học giải tích, đặc biệt khi làm việc với các vectơ trong không gian ba chiều. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn sâu sắc về công thức tính tích có hướng của hai vectơ, các tính chất quan trọng và ứng dụng thực tế của nó, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
Định Nghĩa Tích Có Hướng
Cho hai vectơ a = (a₁, a₂, a₃) và b = (b₁, b₂, b₃) trong không gian Oxyz. Tích có hướng của a và b, ký hiệu là [a, b], là một vectơ được xác định như sau:
Công thức trên cho thấy, tích có hướng của hai vectơ là một vectơ mới, có tọa độ được tính dựa trên các thành phần của hai vectơ ban đầu. Đây là một khái niệm quan trọng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vectơ trong không gian.
Một cách viết khác tương đương và dễ nhớ hơn:
Lưu ý quan trọng: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, trong khi tích vô hướng của hai vectơ là một số thực.
Tính Chất Của Tích Có Hướng
Tích có hướng sở hữu nhiều tính chất hữu ích, giúp đơn giản hóa các phép tính và giải quyết bài toán:
-
Tính vuông góc: [a, b] vuông góc với cả a và b. Tức là, [a, b] ⊥ a và [a, b] ⊥ b.
-
Tính phản giao hoán: [a, b] = -[b, a]. Thứ tự của các vectơ trong phép tích có hướng rất quan trọng.
-
Tích có hướng của các vectơ đơn vị:
- [i, j] = k
- [j, k] = i
- [k, i] = j
-
Độ dài của tích có hướng: |[a, b]| = |a| . |b| . sin(θ), trong đó θ là góc giữa a và b.
-
Điều kiện cùng phương: a và b cùng phương khi và chỉ khi [a, b] = 0 (vectơ không). Điều này có thể được sử dụng để chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Ứng Dụng Của Tích Có Hướng
Tích có hướng có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học và vật lý, bao gồm:
-
Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: Ba vectơ a, b và c đồng phẳng khi và chỉ khi [[a, b] . c = 0.
-
Tính diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành ABCD được xác định bởi |[AB, AD]|.
-
Tính diện tích tam giác: Diện tích tam giác ABC được xác định bởi SABC = 1/2 |[AB, AC]|.
-
Tính thể tích khối hộp: Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ được xác định bởi V = |[[AB, AD] . AA’]|.
-
Tính thể tích tứ diện: Thể tích tứ diện ABCD được xác định bởi V = 1/6 |[[AB, AC] . AD]|.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Giải:
- AB = (-2; 1; 1), AC = (-2; 1; -1), AD = (1; -1; -3)
=> [[AB, AC] = (-2; -4; 0) => [[AB, AC] . AD = 2 ≠ 0
=> AB, AC, AD không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) VABCD = 1/6 |[[AB, AC] . AD]| = 2/6 = 1/3
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Chứng minh AB và CD cắt nhau.
Giải:
- AB = (3; -5; -8), AC = (5; -6; -11), AD = (7; -8; -15), CD = (2; -2; -4)
=> [[AB, AC] = (7; -7; 7) => [[AB, AC] . AD = 0
=> AB, AC, AD đồng phẳng. Vậy A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (1).
- [[AB, CD] = (4; -4; 4) ≠ 0 <=> AB, CD không cùng phương (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.
Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-2; 2; 1), B(1; 0; 2), C(-1; 2; 3). Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -1). Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2; -1; 6), B(-3; -1; -4), C(5; -1; 0). Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Kết Luận
Công Thức Tích Có Hướng Của 2 Vectơ là một công cụ không thể thiếu trong hình học giải tích. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của nó sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và sâu sắc về chủ đề này.
