1. Định Nghĩa và Công Thức Tỉ Lệ Nghịch
Đại lượng y được gọi là tỉ lệ nghịch với đại lượng x nếu chúng liên hệ với nhau theo công thức:
y = a/x hoặc x * y = a
Trong đó:
- x và y là hai đại lượng biến thiên.
- a là một hằng số khác 0, gọi là hệ số tỉ lệ.
Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a, thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a. Chúng ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
2. Tính Chất Quan Trọng của Đại Lượng Tỉ Lệ Nghịch
Giả sử y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Với các giá trị x1, x2, x3,… khác 0 của x, ta có các giá trị tương ứng y1, y2, y3,… của y. Khi đó:
- Tích của các giá trị tương ứng của x và y luôn bằng hệ số tỉ lệ a:
x1 * y1 = x2 * y2 = x3 * y3 = ... = a
- Tỉ số giữa hai giá trị bất kỳ của x bằng nghịch đảo của tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của y:
x1 / x2 = y2 / y1; x1 / x3 = y3 / y1; …
3. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết về Tỉ Lệ Nghịch
Ví dụ 1: Xác định đại lượng tỉ lệ nghịch
Xét các công thức sau, xác định xem đại lượng nào tỉ lệ nghịch với nhau và tìm hệ số tỉ lệ (nếu có):
a) m * n = 36
b) p = -7q
c) r * s = 0
d) u = 15/v
Giải:
a) m * n = 36: m và n là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là 36.
b) p = -7q: p và q là hai đại lượng tỉ lệ thuận, không phải tỉ lệ nghịch.
c) r * s = 0: r và s không tỉ lệ nghịch vì hệ số tỉ lệ bằng 0, không thỏa mãn điều kiện.
d) u = 15/v: u và v là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là 15.
Ví dụ 2: Tìm hệ số tỉ lệ và lập công thức
Cho biết a và b là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và khi a = 4 thì b = 9.
a) Tìm hệ số tỉ lệ của a và b.
b) Viết công thức tính b theo a.
c) Tính giá trị của b khi a = 6; a = 12.
d) Tính giá trị của a khi b = 3; b = 1.
Giải:
a) Hệ số tỉ lệ là: a * b = 4 * 9 = 36
b) Công thức tính b theo a là: b = 36/a
c) Khi a = 6, ta có: b = 36/6 = 6
Khi a = 12, ta có: b = 36/12 = 3
d) Khi b = 3, ta có: a = 36/3 = 12
Khi b = 1, ta có: a = 36/1 = 36
Ví dụ 3: Ứng dụng thực tế của tỉ lệ nghịch
Một xưởng may có 24 công nhân, dự kiến hoàn thành một lô hàng trong 15 ngày. Hỏi nếu xưởng đó tăng thêm 6 công nhân (tổng cộng là 30 công nhân) thì sẽ hoàn thành lô hàng đó trong bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau).
Giải:
Gọi x là số ngày cần thiết để 30 công nhân hoàn thành lô hàng.
Số công nhân và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. (Vì số công nhân tăng lên thì số ngày hoàn thành sẽ giảm xuống).
Ta có: 24 * 15 = 30 * x
Suy ra: x = (24 * 15) / 30 = 12
Vậy, nếu có 30 công nhân, xưởng sẽ hoàn thành lô hàng trong 12 ngày.
Alt: Bảng số liệu ví dụ về số công nhân và thời gian hoàn thành công việc, minh họa quan hệ tỉ lệ nghịch.
4. Bài Tập Tự Luyện về Công Thức Tỉ Lệ Nghịch
Bài 1. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi x = 10 thì y = 6.
a) Tìm hệ số tỉ lệ.
b) Viết công thức tính y theo x.
c) Tính giá trị của y khi x = 5, x = 12, x = 15.
d) Tính giá trị của x khi y = 2, y = 4, y = 10.
Bài 2. Ba vòi nước cùng chảy vào một bể cạn. Vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 8 giờ đầy bể. Vòi thứ hai chảy một mình thì sau 12 giờ đầy bể. Hỏi vòi thứ ba chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể, biết rằng lưu lượng nước của ba vòi là như nhau? (Lưu lượng nước là lượng nước chảy được trong một đơn vị thời gian).
Bài 3. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h thì hết 3 giờ. Hỏi nếu ô tô đó đi với vận tốc 60 km/h thì hết bao nhiêu thời gian?
Bài 4. Một khu đất hình chữ nhật có diện tích là 360 m2. Nếu chiều dài tăng lên 20% thì chiều rộng phải giảm đi bao nhiêu phần trăm để diện tích không đổi?
Bài 5. Cho biết x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 12, y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ là 4. Hỏi x có tỉ lệ nghịch với z hay không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
Alt: Đồ thị minh họa hàm số tỉ lệ nghịch, trục hoành biểu diễn x, trục tung biểu diễn y, đồ thị là một đường cong.
5. Mở Rộng và Nâng Cao về Tỉ Lệ Nghịch (Dành cho học sinh khá, giỏi)
-
Bài toán liên quan đến nhiều đại lượng tỉ lệ nghịch: Trong thực tế, có nhiều bài toán liên quan đến nhiều hơn hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Để giải quyết các bài toán này, cần xác định rõ các cặp đại lượng tỉ lệ nghịch và lập các phương trình tương ứng.
-
Ứng dụng của tỉ lệ nghịch trong các bài toán hình học: Tỉ lệ nghịch có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích, thể tích của các hình. Ví dụ, trong một tam giác có diện tích không đổi, chiều cao và cạnh đáy tương ứng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
-
Kết hợp tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch: Nhiều bài toán phức tạp đòi hỏi phải kết hợp cả kiến thức về tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch để giải quyết.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em học sinh lớp 7 một cái nhìn đầy đủ và chi tiết về công thức tỉ lệ nghịch, giúp các em nắm vững kiến thức và vận dụng thành thạo vào giải các bài tập. Chúc các em học tốt!
