Trong chương trình hình học không gian, Công Thức Thể Tích Hình Chóp là một kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững lý thuyết và các công thức tính thể tích hình chóp giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Bài viết này tổng hợp một cách đầy đủ và dễ hiểu nhất về các công thức tính thể tích hình chóp, kèm theo ví dụ minh họa chi tiết, giúp bạn chinh phục mọi bài toán.
1. Lý Thuyết Cơ Bản Về Thể Tích Hình Chóp
Thể tích của một vật thể là lượng không gian mà vật thể đó chiếm giữ. Đơn vị đo thể tích thường là mét khối (m³) hoặc centimet khối (cm³). Đối với hình chóp, thể tích được xác định dựa trên diện tích đáy và chiều cao của hình.
Alt: Hình chóp với đáy đa giác và đường cao h từ đỉnh xuống đáy, minh họa công thức tính thể tích.
Công thức thể tích hình chóp tổng quát:
Trong đó:
- V: Thể tích hình chóp
- S: Diện tích mặt đáy của hình chóp
- h: Chiều cao của hình chóp (khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy)
Ngoài ra, để giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ lệ thể tích của các hình chóp tam giác, ta có công thức sau:
Nếu A’, B’, C’ lần lượt là các điểm nằm trên cạnh SA, SB, SC của hình chóp tam giác S.ABC, thì:
Alt: Công thức tính tỷ lệ thể tích hai hình chóp tam giác dựa trên tỷ lệ các cạnh tương ứng.
2. Các Công Thức Tính Thể Tích Hình Chóp Thường Gặp
Dưới đây là 12 công thức thể tích hình chóp thường gặp nhất, được trình bày một cách dễ hiểu, giúp bạn áp dụng hiệu quả vào giải các bài toán hình học.
2.1. Hình Chóp Có Mặt Bên Vuông Góc Với Đáy
Khi hình chóp có một hoặc nhiều mặt bên vuông góc với đáy, chiều cao của hình chóp chính là đường cao của mặt bên đó hạ từ đỉnh xuống giao tuyến của mặt bên và mặt đáy.
Alt: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy, SH là đường cao từ đỉnh S xuống đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB=2a√3 và ∠(SBC)=30º, tính thể tích khối chóp S.ABC.
Alt: Hình vẽ minh họa bài toán tính thể tích hình chóp S.ABC với tam giác ABC vuông tại B và mặt (SBC) vuông góc (ABC).
2.2. Hình Chóp Có Cạnh Bên Vuông Góc Với Đáy
Nếu hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, cạnh bên đó chính là chiều cao của hình chóp.
Ví dụ: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA= 4; AB= 6; BC= 10 và CA= 8. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Alt: Hình chóp S.ABC với cạnh SA vuông góc với đáy ABC, AB=6, BC=10, CA=8.
2.3. Hình Chóp S.ABCD Có Đáy Là Hình Vuông
Đối với hình chóp có đáy là hình vuông, ta sử dụng công thức tổng quát và thay diện tích đáy bằng công thức tính diện tích hình vuông (S = a², với a là độ dài cạnh hình vuông).
Ví dụ: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đấy và SC tạo với mp (SAB) một góc 30 độ. Tính thể tích khối chóp?
2.4. Thể Tích Khối Chóp Lập Phương
Hình lập phương là trường hợp đặc biệt của hình chóp, có tất cả các mặt là hình vuông bằng nhau. Công thức thể tích hình chóp lập phương là: V = a³, với a là độ dài cạnh của hình lập phương.
2.5. Thể Tích Khối Chóp Lăng Trụ Tam Giác Đều
Để tính thể tích khối chóp lăng trụ tam giác đều, ta cần biết diện tích đáy (tam giác đều) và chiều cao của lăng trụ.
Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a = 2 cm và chiều cao là h = 3 cm. Hãy tính thể tích hình lăng trụ này.
Alt: Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ với đáy là tam giác đều cạnh 2cm và chiều cao 3cm.
2.6. Thể Tích Khối Chóp Lục Giác Đều
Đối với hình chóp lục giác đều, diện tích đáy là diện tích của lục giác đều. Ta có thể chia lục giác đều thành 6 tam giác đều bằng nhau để tính diện tích.
Alt: Hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với đáy là lục giác đều và SO là đường cao.
Ví dụ: Một khối chóp lục giác đều, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 30 độ, cạnh đáy a. Tính thể tích V của khối chóp?
2.7. Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp Lăng Trụ
Thể tích khối lăng trụ được tính bằng công thức: V = B.h, trong đó B là diện tích đáy và h là chiều cao của lăng trụ.
Alt: Hình lăng trụ đứng với chiều cao h và đáy có diện tích B, minh họa công thức V=B.h.
2.8. Tính Thể Tích Khối Chóp Khi Biết 3 Cạnh Bên
Trong trường hợp biết độ dài 6 cạnh của khối tứ diện, ta có thể sử dụng công thức tổng quát để tính thể tích.
Alt: Công thức phức tạp tính thể tích tứ diện ABCD dựa trên độ dài các cạnh AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Ví dụ: Cho khối tứ diện ABCD có AB=CD=8, AD=BC=5 và AC=BD=7. Thể tích khối tứ diện đã cho bằng bao nhiêu?
Alt: Hình tứ diện ABCD với AB=CD=8, AD=BC=5 và AC=BD=7, cần tính thể tích.
2.9. Tìm Thể Tích Khối Chóp Các Cạnh Đôi Một Vuông Góc
Khi các cạnh bên của hình chóp đôi một vuông góc, thể tích được tính bằng công thức đơn giản dựa trên độ dài của các cạnh đó.
Ví dụ: Cho tứ diện SABC có các cạnh SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau. Biết SA=3a, SB=4a, SC=5a. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện SABC.
2.10. Thể Tích Khối Chóp Tròn Xoay (Hình Nón)
Thể tích khối nón được tính bằng công thức: V = (1/3)πr²h, trong đó r là bán kính đáy và h là chiều cao của hình nón.
Alt: Hình nón có đáy tròn bán kính r và chiều cao h, minh họa công thức tính thể tích.
Alt: Hình vẽ và các thông số của bài toán tính thể tích khối nón.
2.11. Tính Thể Tích Của Khối Chóp Tam Giác Đều
Hình chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Ví dụ: Tính thể tích V của khối chóp tam giác đều SABC biết chiều cao hình chóp bằng h, góc SBA=a
Alt: Hình chóp tam giác đều S.ABC với đường cao từ S xuống đáy và góc SBA được cho.
2.12. Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp Tứ Giác Đều Cạnh Đáy Bằng a
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Ví dụ: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều V có tất cả các cạnh bằng a.
Alt: Hình chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh có độ dài bằng a.
Việc nắm vững các công thức thể tích hình chóp và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Chúc các bạn học tốt!
