Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về Công Thức Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Cộng, một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Chúng ta sẽ đi từ định nghĩa, công thức, đến các ví dụ minh họa chi tiết và bài tập áp dụng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Định Nghĩa Cấp Số Cộng
Cấp số cộng là một dãy số trong đó hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng.
- Định nghĩa: Dãy số (un) được gọi là cấp số cộng nếu un+1 = un + d, với mọi n ∈ N*, trong đó d là một hằng số gọi là công sai.
2. Công Thức Số Hạng Tổng Quát
Đây là công thức quan trọng nhất để tìm bất kỳ số hạng nào trong cấp số cộng mà không cần phải liệt kê tất cả các số hạng trước đó.
-
Công thức: un = u1 + (n – 1)d
- Trong đó:
- un: Số hạng thứ n
- u1: Số hạng đầu tiên
- n: Vị trí của số hạng trong dãy
- d: Công sai
- Trong đó:
3. Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức, chúng ta sẽ xét một vài ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 5 và d = 2.
a) Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng.
b) Số 25 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Lời giải:
a) Sử dụng công thức số hạng tổng quát:
u10 = u1 + (10 – 1)d = 5 + (9)(2) = 5 + 18 = 23
Vậy số hạng thứ 10 là 23.
b) Giả sử 25 là số hạng thứ k, ta có:
uk = u1 + (k – 1)d = 5 + (k – 1)2 = 25
Giải phương trình: 2(k – 1) = 20 => k – 1 = 10 => k = 11
Vậy số 25 là số hạng thứ 11.
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u2 = 7 và u4 = 11.
a) Tìm u1 và d.
b) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.
Lời giải:
a) Ta có hệ phương trình:
u2 = u1 + d = 7
u4 = u1 + 3d = 11
Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được: 2d = 4 => d = 2.
Thay d = 2 vào phương trình thứ nhất, ta được: u1 + 2 = 7 => u1 = 5.
Vậy u1 = 5 và d = 2.
b) Số hạng tổng quát:
un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1)2 = 2n + 3
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 3 và công sai d = -2. Tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng này.
Lời giải:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát:
u15 = u1 + (15 – 1)d = 3 + (14)(-2) = 3 – 28 = -25
Vậy số hạng thứ 15 là -25.
Hình ảnh minh họa cách thiết lập hệ phương trình để tìm u1 và d khi biết hai số hạng bất kỳ trong cấp số cộng.
4. Bài Tập Áp Dụng
Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Cho cấp số cộng (un) có u1 = -2 và d = 3.
a) Tìm số hạng thứ 8 của cấp số cộng.
b) Số 40 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Bài 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u3 = 8 và u5 = 14. Tìm u1 và d.
Bài 3: Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng ghế đầu tiên có 15 ghế, và mỗi hàng ghế sau có thêm 2 ghế so với hàng ghế trước. Hỏi hàng ghế cuối cùng có bao nhiêu ghế?
5. Mở Rộng và Ứng Dụng
Công thức số hạng tổng quát không chỉ dùng để tìm một số hạng cụ thể. Nó còn được sử dụng để:
- Chứng minh một dãy số có phải là cấp số cộng hay không.
- Giải các bài toán liên quan đến tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (sử dụng công thức tính tổng cấp số cộng).
- Ứng dụng trong các bài toán thực tế, ví dụ như tính toán lãi suất kép, quy luật tăng trưởng, v.v.
6. Lưu Ý Quan Trọng
- Luôn xác định rõ u1 và d trước khi áp dụng công thức.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi tính toán để đảm bảo tính chính xác.
- Luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau để nắm vững kiến thức.
Hình ảnh minh họa quá trình giải hệ phương trình để tìm ra số hạng đầu (u1) và công sai (d) của cấp số cộng khi biết giá trị của hai số hạng bất kỳ.
7. Kết Luận
Nắm vững công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến dãy số này. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về công thức này, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng giúp bạn củng cố kiến thức. Chúc các bạn học tốt!
