Phương Pháp Chung Để Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai
Để rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai một cách hiệu quả, ta cần nắm vững các bước sau:
- Tìm điều kiện xác định: Xác định các giá trị của biến để biểu thức có nghĩa (nếu đề bài chưa cho). Điều này đặc biệt quan trọng khi biểu thức chứa mẫu số hoặc căn bậc hai.
- Đưa về dạng bình phương: Biến đổi các biểu thức trong căn về dạng $A^2$, $A^3$,… để có thể đưa ra ngoài dấu căn. Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ là một kỹ năng quan trọng.
- Rút gọn: Thực hiện các phép toán rút gọn, thu gọn các số hạng đồng dạng để có được biểu thức đơn giản nhất.
Hình ảnh minh họa các bước cơ bản trong việc rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, bao gồm tìm điều kiện xác định, biến đổi và rút gọn.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau:
a) $sqrt{49a^2}$ với $a > 0$
b) $sqrt{16a^4} + 3a$
c) $5sqrt{25a^2} – 5a$ với $a < 0$
d) $sqrt{100a^2} + a$
Hướng dẫn giải:
a) $sqrt{49a^2} = sqrt{(7a)^2} = |7a| = 7a$ (vì $a > 0$).
b) $sqrt{16a^4} + 3a = sqrt{(4a^2)^2} + 3a = |4a^2| + 3a = 4a^2 + 3a$ (vì $4a^2 ge 0$ với mọi $a$).
Phân tích từng bước giải ví dụ 1a, làm rõ việc áp dụng công thức và điều kiện của biến.
c) $5sqrt{25a^2} – 5a = 5sqrt{(5a)^2} – 5a = 5|5a| – 5a$.
Vì $a < 0$ nên $|5a| = -5a$, do đó $5|5a| – 5a = 5(-5a) – 5a = -25a – 5a = -30a$.
d) $sqrt{100a^2} + a = sqrt{(10a)^2} + a = |10a| + a$.
- Nếu $a < 0$ thì $|10a| = -10a$, do đó $sqrt{100a^2} + a = -10a + a = -9a$.
- Nếu $a > 0$ thì $|10a| = 10a$, do đó $sqrt{100a^2} + a = 10a + a = 11a$.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: $sqrt{4 + 2sqrt{3}} + sqrt{4 – 2sqrt{3}}$
Hướng dẫn giải:
Ta có: $4 + 2sqrt{3} = (sqrt{3})^2 + 2sqrt{3} + 1 = (sqrt{3} + 1)^2$
$4 – 2sqrt{3} = (sqrt{3})^2 – 2sqrt{3} + 1 = (sqrt{3} – 1)^2$
Do đó: $sqrt{4 + 2sqrt{3}} + sqrt{4 – 2sqrt{3}} = sqrt{(sqrt{3} + 1)^2} + sqrt{(sqrt{3} – 1)^2} = |sqrt{3} + 1| + |sqrt{3} – 1| = sqrt{3} + 1 + sqrt{3} – 1 = 2sqrt{3}$.
Hình ảnh minh họa cách phân tích và biến đổi biểu thức dưới dấu căn để đưa về dạng bình phương, từ đó rút gọn biểu thức.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: $sqrt{9 – 4sqrt{5}} + sqrt{14 + 6sqrt{5}}$
Hướng dẫn giải:
Ta có: $9 – 4sqrt{5} = (2 – sqrt{5})^2$
$14 + 6sqrt{5} = (3 + sqrt{5})^2$
Do đó: $sqrt{9 – 4sqrt{5}} + sqrt{14 + 6sqrt{5}} = |2 – sqrt{5}| + |3 + sqrt{5}| = sqrt{5} – 2 + 3 + sqrt{5} = 1 + 2sqrt{5}$.
Hình ảnh trình bày cách đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương và thực hiện rút gọn, chú ý đến giá trị tuyệt đối.
Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện
Bài 1: Giá trị của biểu thức $sqrt{4a^2}$ với $a > 0$ là:
A. $4a$
B. $-4a$
C. $2a$
D. $-2a$
Đáp án: C
Lời giải: $sqrt{4a^2} = sqrt{(2a)^2} = |2a| = 2a$ (vì $a > 0$)
Bài 2: Biểu thức $sqrt{(x + 2)^2} – sqrt{x^2}$ với $-2 le x le 0$ rút gọn được:
A. $2 + 2x$
B. $-2 – 2x$
C. $2x$
D. $-2x$
Đáp án: A
Lời giải: $sqrt{(x+2)^2} – sqrt{x^2} = |x+2| – |x| = (x+2) – (-x) = 2x + 2$ (Vì $-2 le x le 0$ nên $x + 2 ge 0$ và $x le 0$)
Hình ảnh thể hiện cách giải bài tập trắc nghiệm 2, chú trọng vào việc xét dấu của biểu thức trong căn.
Bài 3: Biểu thức $frac{sqrt{(x-1)^2}}{x-1}$ (x > 1) bằng:
A. $frac{1}{x-1}$
B. $x + 1$
C. $1$
D. $-1$
Đáp án: C
Lời giải: $frac{sqrt{(x-1)^2}}{x-1} = frac{|x-1|}{x-1} = frac{x-1}{x-1} = 1$ (Vì x > 1 nên x – 1 > 0 nên |x – 1| = x – 1).
Bài 4: Biểu thức $sqrt{frac{a^3}{b}}.sqrt{ab}$ (a > b > 0) rút gọn được:
A. $a$
B. $b$
C. $ab$
D. $a^2b^2$
Đáp án: A
Lời giải: Với a > b > 0 thì a – b > 0 nên ta có:
$sqrt{frac{a^3}{b}}.sqrt{ab} = sqrt{frac{a^3}{b}.ab} = sqrt{a^4} = a^2$
Hình ảnh minh họa quá trình rút gọn biểu thức phức tạp trong bài tập 4, làm rõ các bước biến đổi đại số.
Bài 5: Với a thỏa mãn điều kiện xác định, biểu thức $frac{a – sqrt{a}}{sqrt{a} – 1}$ rút gọn được:
A. $sqrt{a}$
B. $-sqrt{a}$
C. $sqrt{a} + 1$
D. $sqrt{a} – 1$
Đáp án: A
Lời giải: $frac{a – sqrt{a}}{sqrt{a} – 1} = frac{sqrt{a}(sqrt{a} – 1)}{sqrt{a} – 1} = sqrt{a}$
Bài Tập Rèn Luyện Kỹ Năng
Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $sqrt{(sqrt{3} – 2)^2}$
b) $sqrt{(3 – sqrt{11})^2}$
Hướng dẫn giải:
a) $|sqrt{3} – 2| = 2 – sqrt{3}$
b) $|3 – sqrt{11}| = sqrt{11} – 3$
Hướng dẫn giải bài tập 6, tập trung vào việc xác định giá trị tuyệt đối của biểu thức.
Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $sqrt{(2 – sqrt{5})^2} + sqrt{6 – 2sqrt{5}}$
b) $sqrt{7 – 4sqrt{3}} + sqrt{(2 – sqrt{3})^2}$
Hướng dẫn giải:
a) $sqrt{(2 – sqrt{5})^2} + sqrt{6 – 2sqrt{5}} = sqrt{5} – 2 + sqrt{(sqrt{5}-1)^2} = sqrt{5} – 2 + sqrt{5} – 1 = 2sqrt{5} – 3$
b) $sqrt{7 – 4sqrt{3}} + sqrt{(2 – sqrt{3})^2} = sqrt{(2-sqrt{3})^2} + |2 – sqrt{3}| = 2 – sqrt{3} + 2 – sqrt{3} = 4 – 2sqrt{3}$
Hình ảnh trình bày lời giải chi tiết cho bài tập 7, kết hợp nhiều kỹ năng biến đổi và rút gọn.
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $sqrt{49a^2} – 5a$ (với a < 0)
b) $3sqrt{9a^6} + 6a^3$ (với a < 0)
Hướng dẫn giải:
a) $|7a| – 5a = -7a – 5a = -12a$ (vì a < 0)
b) $3|3a^3| + 6a^3 = -9a^3 + 6a^3 = -3a^3$ (vì a < 0)
Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $a – 4 + sqrt{16 – 8a + a^2}$ (với a > 4)
b) $sqrt{a^2} + a$ (với a < 0)
Hướng dẫn giải:
a) $a – 4 + sqrt{(a – 4)^2} = a – 4 + |a – 4| = a – 4 + a – 4 = 2a – 8$ (vì a > 4)
b) $|a| + a = -a + a = 0$ (vì a < 0)
Bài 10: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $3x – sqrt{x^2 – 4x + 4}$ (với x < 2)
b) $sqrt{x^2 + 6x + 9} – x$ (với x ≥ -3)
Hướng dẫn giải:
a) $3x – sqrt{(x-2)^2} = 3x – |x – 2| = 3x – (2 – x) = 4x – 2$ (vì x < 2)
b) $sqrt{(x+3)^2} – x = |x + 3| – x = x + 3 – x = 3$ (vì x ≥ -3)
