Tổng Quan Về Phương Trình Mặt Phẳng
Phương trình mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích không gian. Hiểu rõ về Công Thức Phương Trình Mặt Phẳng giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vị trí tương đối, khoảng cách, và góc giữa các đối tượng hình học. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức về công thức phương trình mặt phẳng một cách hiệu quả.
Vectơ Pháp Tuyến Của Mặt Phẳng
Vectơ pháp tuyến (VTPT) đóng vai trò then chốt trong việc xác định phương trình của một mặt phẳng.
-
Định nghĩa: Vectơ $overrightarrow{n} neq overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(alpha)$ nếu giá của nó vuông góc với mặt phẳng đó.
-
Tính chất:
- Nếu $overrightarrow{n}$ là một VTPT của mặt phẳng $(alpha)$ thì $koverrightarrow{n}$ (với $k neq 0$) cũng là một VTPT của mặt phẳng đó.
- Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà nó đi qua và một VTPT của nó.
- Nếu $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$ là hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(alpha)$ và không cùng phương, thì $overrightarrow{n} = [overrightarrow{u}, overrightarrow{v}]$ là một VTPT của $(alpha)$. (Trong đó, $[overrightarrow{u}, overrightarrow{v}]$ là tích có hướng của hai vectơ $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$).
Phương Trình Tổng Quát Của Mặt Phẳng
Đây là dạng công thức phương trình mặt phẳng thường được sử dụng nhất.
-
Dạng phương trình: Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có thể biểu diễn bằng phương trình:
$Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 + B^2 + C^2 neq 0$
-
VTPT: Nếu mặt phẳng $(alpha)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ thì nó có một VTPT là $overrightarrow{n}(A; B; C)$.
-
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và biết VTPT: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và nhận vectơ $overrightarrow{n}(A; B; C) neq overrightarrow{0}$ làm VTPT là:
$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$
Alt: Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz, Toán lớp 12
Các Trường Hợp Đặc Biệt Của Phương Trình Mặt Phẳng
Xét phương trình mặt phẳng $(alpha)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 + B^2 + C^2 neq 0$
- Nếu $D = 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ đi qua gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$.
- Nếu $A = 0$, $B neq 0$, $C neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc chứa trục $Ox$.
- Nếu $B = 0$, $A neq 0$, $C neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc chứa trục $Oy$.
- Nếu $C = 0$, $A neq 0$, $B neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc chứa trục $Oz$.
Alt: Vị trí tương đối của mặt phẳng và các trục tọa độ khi một hệ số A, B hoặc C bằng 0, ví dụ minh họa trực quan
- Nếu $A = B = 0$, $C neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng $(Oxy)$.
- Nếu $A = C = 0$, $B neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng $(Oxz)$.
- Nếu $B = C = 0$, $A neq 0$ thì mặt phẳng $(alpha)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng $(Oyz)$.
Alt: Minh họa mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz, Oyz và quan hệ song song/trùng của mặt phẳng với các mặt phẳng này
Lưu ý: Nếu trong phương trình $(alpha)$ không chứa ẩn nào thì $(alpha)$ song song hoặc chứa trục tương ứng.
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Đây là một dạng đặc biệt của công thức phương trình mặt phẳng, hữu ích khi mặt phẳng cắt các trục tọa độ.
-
Dạng phương trình:
$frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1$
Trong đó, $(alpha)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm $A(a; 0; 0)$, $B(0; b; 0)$, $C(0; 0; c)$ với $abc neq 0$.
Alt: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, thể hiện rõ các giao điểm A, B, C trên các trục Ox, Oy, Oz
Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng
-
Công thức: Trong không gian Oxyz, cho điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và mặt phẳng $(alpha)$: $Ax + By + Cz + D = 0$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(alpha)$ được tính bằng công thức:
$d(M_0, (alpha)) = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Alt: Biểu thức toán học thể hiện công thức tính khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng alpha, kèm chú thích các thành phần
Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
-
Công thức: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(alpha)$: $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ và $(beta)$: $A_2x + B_2y + C_2z + D2 = 0$. Góc giữa $(alpha)$ và $(beta)$ bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT $overrightarrow{n{alpha}}$ và $overrightarrow{n_{beta}}$. Tức là:
$cos((alpha), (beta)) = frac{|overrightarrow{n{alpha}} cdot overrightarrow{n{beta}}|}{|overrightarrow{n{alpha}}| cdot |overrightarrow{n{beta}}|} = frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} cdot sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$
Alt: Công thức cosin góc giữa hai mặt phẳng alpha và beta, sử dụng tích vô hướng và độ dài của vector pháp tuyến
Các Dạng Bài Tập Về Công Thức Phương Trình Mặt Phẳng Và Kỹ Năng Giải
Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp liên quan đến công thức phương trình mặt phẳng và phương pháp giải quyết chúng.
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến
Phương pháp giải: Áp dụng trực tiếp công thức phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT: $A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 1 điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và song song với 1 mặt phẳng (β): $Ax + By + Cz + D = 0$
Phương pháp giải:
-
Cách 1:
- Tìm VTPT của (β): $overrightarrow{n_{beta}} = (A; B; C)$.
- Vì (α) // (β) nên VTPT của (α) là $overrightarrow{n{alpha}} = overrightarrow{n{beta}} = (A; B; C)$.
- Viết phương trình mặt phẳng (α): $A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$.
-
Cách 2:
- Mặt phẳng (α) // (β) nên phương trình (α) có dạng: $Ax + By + Cz + D’ = 0$ (*), với $D’ neq D$.
- Vì (α) qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ nên thay tọa độ $M_0$ vào (*) để tìm $D’$.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
Phương pháp giải:
- Tìm tọa độ các vectơ: $overrightarrow{AB}$, $overrightarrow{AC}$.
- Vectơ pháp tuyến của (α) là: $overrightarrow{n_{alpha}} = [overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}]$.
- Chọn một điểm thuộc mặt phẳng (A, B hoặc C).
- Viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có VTPT $overrightarrow{n_{alpha}}$.
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng Δ
Phương pháp giải:
- Tìm VTCP của Δ là $overrightarrow{u_{Delta}}$.
- Vì (α) ⊥ Δ nên (α) có VTPT $overrightarrow{n{alpha}} = overrightarrow{u{Delta}}$.
- Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT $overrightarrow{n_{alpha}}$.
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ, vuông góc với mặt phẳng (β)
Phương pháp giải:
- Tìm VTPT của (β) là $overrightarrow{n_{beta}}$.
- Tìm VTCP của Δ là $overrightarrow{u_{Delta}}$.
- VTPT của mặt phẳng (α) là: $overrightarrow{n{alpha}} = [overrightarrow{n{beta}}; overrightarrow{u_{Delta}}]$.
- Lấy một điểm M trên Δ.
- Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β)
Phương pháp giải:
- Tìm VTPT của (β) là $overrightarrow{n_{beta}}$.
- Tìm tọa độ vectơ $overrightarrow{AB}$.
- VTPT của mặt phẳng (α) là: $overrightarrow{n{alpha}} = [overrightarrow{n{beta}}, overrightarrow{AB}]$.
- Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ’ (Δ, Δ’ chéo nhau)
Phương pháp giải:
- Tìm VTCP của Δ và Δ’ là $overrightarrow{u{Delta}}$ và $overrightarrow{u{Delta’}}$.
- VTPT của mặt phẳng (α) là: $overrightarrow{n{alpha}} = [overrightarrow{u{Delta}}, overrightarrow{u_{Delta’}}] $.
- Lấy một điểm M trên Δ.
- Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và 1 điểm M
Phương pháp giải:
- Tìm VTCP của Δ là $overrightarrow{u_{Delta}}$, lấy 1 điểm N trên Δ. Tính tọa độ $overrightarrow{MN}$.
- VTPT của mặt phẳng (α) là: $overrightarrow{n{alpha}} = [overrightarrow{u{alpha}}; overrightarrow{MN}]$.
- Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa 2 đường thẳng cắt nhau Δ và Δ’
Phương pháp giải:
- Tìm VTCP của Δ và Δ’ là $overrightarrow{u{Delta}}$ và $overrightarrow{u{Delta’}}$.
- VTPT của mặt phẳng (α) là: $overrightarrow{n{alpha}} = [overrightarrow{u{Delta}}; overrightarrow{u_{Delta’}}] $.
- Lấy một điểm M trên Δ.
- Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa 2 đường thẳng song song Δ và Δ’
Phương pháp giải:
- Tìm VTCP của Δ và Δ’ là $overrightarrow{u{Delta}}$ và $overrightarrow{u{Delta’}}$, lấy M ∈ Δ, N ∈ Δ’.
- VTPT của mặt phẳng (α) là: $overrightarrow{n{alpha}} = [overrightarrow{u{Delta}}; overrightarrow{MN}]$.
- Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng Δ và Δ’ chéo nhau cho trước
Phương pháp giải:
- Tìm VTCP của Δ và Δ’ là $overrightarrow{u{Delta}}$ và $overrightarrow{u{Delta’}}$.
- VTPT của mặt phẳng (α) là: $overrightarrow{n{alpha}} = [overrightarrow{u{Delta}}; overrightarrow{u_{Delta’}}] $.
- Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước
Phương pháp giải:
- Tìm VTPT của (P) và (Q) là $overrightarrow{n_P}$ và $overrightarrow{n_Q}$.
- VTPT của mặt phẳng (α) là: $overrightarrow{n_{alpha}} = [overrightarrow{n_P}; overrightarrow{n_Q}]$.
- Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) và cách (β): $Ax + By + Cz + D = 0$ một khoảng k cho trước
Phương pháp giải:
- Trên mặt phẳng (β) chọn 1 điểm M.
- Do (α) // (β) nên (α) có phương trình $Ax + By + Cz + D’ = 0$ (D’ ≠ D).
- Sử dụng công thức khoảng cách $d((alpha), (beta)) = d(M, (beta)) = k$ để tìm D’.
Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β): $Ax + By + Cz + D = 0$ cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước
Phương pháp giải:
- Do (α) // (β) nên (α) có phương trình $Ax + By + Cz + D’ = 0$ (D’ ≠ D).
- Sử dụng công thức khoảng cách $d(M, (alpha)) = k$ để tìm D’.
Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S)
Phương pháp giải:
- Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S).
- Nếu mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M ∈ (S) thì mặt phẳng (α) đi qua điểm M và có VTPT là $overrightarrow{MI}$.
- Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$ (D chưa biết). Sử dụng điều kiện tiếp xúc: $d(I,(α)) = R$ để tìm D.
Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng Δ và tạo với một mặt phẳng (β): $Ax + By + Cz + D = 0$ cho trước một góc φ cho trước
Phương pháp giải:
- Tìm VTPT của (β) là $overrightarrow{n_{beta}}$.
- Gọi $overrightarrow{n_{alpha}}(A’; B’; C’)$ là VTPT của mặt phẳng (α).
- Dùng phương pháp vô định giải hệ:
Alt: Hệ phương trình vô định dùng để tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng alpha trong trường hợp biết góc giữa nó và mặt phẳng beta
- Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Nắm vững công thức phương trình mặt phẳng và các dạng bài tập liên quan là chìa khóa để chinh phục các bài toán hình học không gian trong chương trình Toán lớp 12 và các kỳ thi quan trọng. Chúc các bạn học tốt!
