Trong hình học, việc tính toán khoảng cách giữa các đối tượng hình học là một bài toán quan trọng, đặc biệt là Công Thức Khoảng Cách Giữa 2 đường Thẳng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các công thức tính khoảng cách thường gặp, tập trung vào khoảng cách giữa hai đường thẳng, cùng với các ví dụ minh họa để bạn đọc dễ dàng áp dụng.
Các Công Thức Tính Khoảng Cách Thường Dùng
Chúng ta sẽ đi từ những công thức đơn giản nhất đến phức tạp hơn, từ hình học phẳng đến hình học không gian. Điều này giúp bạn nắm vững kiến thức một cách hệ thống và dễ dàng ghi nhớ.
1. Khoảng Cách Giữa Hai Điểm Bất Kỳ
Khoảng cách giữa hai điểm thực chất là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB). Khoảng cách giữa A và B được tính bằng công thức:
^{2}%20+%20(y{B}%20-%20y{A})^{2}%7D)
2. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M(x0, y0). Khoảng cách từ M đến d được tính như sau:
%20=%20%5Cfrac%7B%7Cax{0}%20+%20by{0}%20+c%7C%7D%7B%5Csqrt%7Ba^{2}+b^{2}%7D%7D)
Công thức này rất quan trọng và được ứng dụng nhiều trong các bài toán liên quan đến hình học phẳng.
3. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng (P) là khoảng cách từ A đến hình chiếu vuông góc của nó trên (P).
Cho điểm A(α, β, γ) và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0. Khoảng cách từ A đến (P) là:
)%20=%20%5Cfrac%7B%7Ca%5Calpha%20+%20b%5Cbeta%20+%20c%5Cgamma%20+%20d%7C%7D%7B%5Csqrt%7Ba^{2}%20+%20b^{2}%20+%20c^{2}%7D%7D)
4. Công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau hoặc song song
Trong hình học không gian, hai đường thẳng có thể có các mối quan hệ: trùng nhau, song song, cắt nhau và chéo nhau. Khoảng cách giữa hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau bằng 0.
Để tính công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau hoặc song song, ta tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
%20=%20%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7BM{1}M{2}%7D%5Cwedge%20%5Cvec%7Bu%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bu%7D%7C%7D)
Trong đó:
- M1 thuộc Δ1 và M2 thuộc Δ2 là hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng.
ulà vector chỉ phương của một trong hai đường thẳng.
Cụ thể:
- M1 (x1; y1; z1) và M2 (x2; y2; z2)
- u = (a; b; c)
5. Khoảng Cách Giữa Hai Mặt Phẳng Song Song
Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) được xác định khi biết phương trình của chúng:
(P): ax + by + cz + d = 0
(Q): ax + by + cz + d’ = 0
Công thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng này là:
;%20(Q))%20=%20%5Cfrac%7B%7Cd%20-%20d%27%7C%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E%7B2%7D%20+%20b%5E%7B2%7D%20+%20c%5E%7B2%7D%7D)
Bài Tập Vận Dụng
Dưới đây là một số bài tập giúp bạn làm quen và áp dụng các công thức đã học:
Bài 1: Cho hai mặt phẳng (α): x – 2y + z + 1 = 0 và (β): x – 2y + z + 3 = 0. Tính khoảng cách giữa (α) và (β).
Giải:
Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
,%20(%5Cbeta))%20=%20%5Cfrac%7B%7C1%20-%203%7C%7D%7B%5Csqrt%7B1^{2}%20+%20(-2)^{2}%20+%201^{2}%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%7D%7B3%7D)
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng là .
Bài 2: Cho hai mặt phẳng (α) // (β) và có khoảng cách là 3. Phương trình của (α) là 2x – 5y – 3z + 1 = 0. Xác định phương trình của (β) dạng ax + by + cz + d2 = 0.
Giải:
Do (α) // (β) => a = 2, b = -5, c = -3.
Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
^{2}%20+%20(-3)^{2}%7D%7D%20=%203%20%5CLeftrightarrow%20d_{2}%20=%203%5Csqrt%7B38%7D%20-%201)
Vậy phương trình của (β) là 2x – 5y – 3z + = 0.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(3, 5) và B(2, 7). Tính khoảng cách giữa A và B.
Giải:
Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm:
^{2}%20+%20(7%20-%205)^{2}%7D%20=%20%5Csqrt%7B5%7D)
Vậy khoảng cách giữa A và B là .
Kết Luận
Bài viết này đã tổng hợp các công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng và các đối tượng hình học khác một cách chi tiết và dễ hiểu. Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ được cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách trong hình học. Chúc các bạn học tốt!
