Chu kì bán rã là một khái niệm quan trọng trong vật lý hạt nhân, mô tả thời gian cần thiết để một nửa số lượng hạt nhân phóng xạ trong một mẫu chất phân rã. Nắm vững Công Thức Chu Kì Bán Rã giúp chúng ta hiểu rõ hơn về quá trình phân rã phóng xạ và ứng dụng nó trong nhiều lĩnh vực.
Công thức chu kì bán rã
Công thức chu kì bán rã liên hệ số lượng hạt nhân ban đầu (N₀) với số lượng hạt nhân còn lại sau thời gian t (N), và chu kì bán rã (T):
N = N₀ * (1/2)^(t/T)
Hoặc, sử dụng cơ số e:
N = N₀ * e^(-λt)
Trong đó:
- N: Số hạt nhân còn lại sau thời gian t.
- N₀: Số hạt nhân ban đầu.
- t: Thời gian phân rã.
- T: Chu kì bán rã.
- λ: Hằng số phóng xạ (λ = ln(2)/T).
Công thức này cũng có thể áp dụng cho khối lượng chất phóng xạ (m) và độ phóng xạ (H):
m = m₀ (1/2)^(t/T)
H = H₀ (1/2)^(t/T)
Trong đó m₀ là khối lượng ban đầu và H₀ là độ phóng xạ ban đầu.
Ứng dụng của công thức chu kì bán rã
Công thức chu kì bán rã có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm:
- Định tuổi cổ vật: Sử dụng đồng vị carbon-14 để xác định tuổi của các vật thể hữu cơ cổ xưa.
- Y học hạt nhân: Sử dụng các chất phóng xạ có chu kì bán rã phù hợp để chẩn đoán và điều trị bệnh.
- Công nghiệp: Sử dụng các chất phóng xạ để kiểm tra chất lượng vật liệu và theo dõi các quy trình sản xuất.
- Năng lượng hạt nhân: Tính toán lượng nhiên liệu cần thiết cho các lò phản ứng hạt nhân và quản lý chất thải phóng xạ.
Bài tập vận dụng công thức chu kì bán rã
Để hiểu rõ hơn về công thức chu kì bán rã, hãy cùng xem xét một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1: Một chất phóng xạ có chu kì bán rã là 5 năm. Sau 15 năm, bao nhiêu phần trăm số hạt nhân ban đầu còn lại?
Giải:
t = 15 năm, T = 5 năm.
Sử dụng công thức: N = N₀ * (1/2)^(t/T)
N = N₀ (1/2)^(15/5) = N₀ (1/2)^3 = N₀ * (1/8)
Vậy, sau 15 năm, còn lại 1/8 hay 12.5% số hạt nhân ban đầu.
Ví dụ 2: Một mẫu chất phóng xạ có độ phóng xạ ban đầu là H₀. Sau thời gian t, độ phóng xạ giảm đi 128 lần. Tính thời gian t theo chu kì bán rã T.
Giải:
H = H₀/128
Sử dụng công thức: H = H₀ * (1/2)^(t/T)
H₀/128 = H₀ * (1/2)^(t/T)
(1/2)^(t/T) = 1/128 = (1/2)^7
=> t/T = 7
=> t = 7T
Ví dụ 3: Sau 1 ngày đêm, 87.5% khối lượng ban đầu của một chất phóng xạ bị phân rã. Tính chu kì bán rã của chất phóng xạ đó.
Giải:
Khối lượng còn lại sau 1 ngày đêm là 100% – 87.5% = 12.5% = 1/8 khối lượng ban đầu.
m = m₀ * (1/2)^(t/T)
m₀/8 = m₀ * (1/2)^(t/T)
(1/2)^(t/T) = 1/8 = (1/2)^3
=> t/T = 3
t = 1 ngày đêm = 24 giờ
=> 24/T = 3
=> T = 8 giờ
Ví dụ 4: Trong khoảng thời gian 4 giờ, 75% số hạt nhân ban đầu của một đồng vị phóng xạ bị phân rã. Tính chu kì bán rã của đồng vị đó.
Giải:
Số hạt nhân còn lại là 100% – 75% = 25% = 1/4 số hạt nhân ban đầu.
N = N₀ * (1/2)^(t/T)
N₀/4 = N₀ * (1/2)^(t/T)
(1/2)^(t/T) = 1/4 = (1/2)^2
=> t/T = 2
t = 4 giờ
=> 4/T = 2
=> T = 2 giờ
Ví dụ 5: Ban đầu có 2×10⁻³ g Cacbon 14. Sau 11200 năm, khối lượng còn lại là 0.5×10⁻³ g. Tính chu kì bán rã của Cacbon 14.
Giải:
m = m₀ * (1/2)^(t/T)
- 5×10⁻³ = 2×10⁻³ * (1/2)^(11200/T)
(1/2)^(11200/T) = 0.5/2 = 1/4 = (1/2)^2
=> 11200/T = 2
=> T = 5600 năm
Ví dụ 6: Một mẫu chất phóng xạ X, ở thời điểm t₁ còn lại 20% số hạt nhân ban đầu. Đến thời điểm t₂ = t₁ + 100s, số hạt nhân còn lại là 5% so với ban đầu. Tính chu kì bán rã của X.
Giải:
N₁ = 0.2N₀ = N₀ (1/2)^(t₁/T) (1)
N₂ = 0.05N₀ = N₀ (1/2)^(t₂/T) (2)
Chia (2) cho (1):
- 05/0.2 = (1/2)^((t₂-t₁)/T)
1/4 = (1/2)^(100/T)
(1/2)^2 = (1/2)^(100/T)
=> 100/T = 2
=> T = 50 giây.
Ví dụ 7: Một mẫu Po²¹⁰ nguyên chất có khối lượng 1g. Sau 365 ngày tạo ra 89.6 cm³ khí Heli (đktc). Tính chu kì bán rã của Po.
Giải:
Số mol He tạo ra: nHe = V/22.4 = 89.6/22400 = 0.004 mol
Số hạt Po phân rã = số hạt He tạo ra = 0.004 * 6.022×10²³ hạt
Số mol Po ban đầu: nPo = m/M = 1/210 mol
Số hạt Po ban đầu: N₀ = (1/210) * 6.022×10²³ hạt
Số hạt Po còn lại: N = N₀ – 0.004 6.022×10²³ = [(1/210) – 0.004] 6.022×10²³
N/N₀ = [(1/210) – 0.004] / (1/210) = 0.16
- 16 = (1/2)^(365/T)
log(0.16) = (365/T) * log(0.5)
T = 365 * log(0.5) / log(0.16) ≈ 138 ngày
Nắm vững công thức chu kì bán rã và các ứng dụng của nó là rất quan trọng trong vật lý hạt nhân. Việc luyện tập giải các bài tập khác nhau sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về khái niệm này và áp dụng nó một cách hiệu quả.
