Cấp số nhân là gì?
Trong toán học, cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi, gọi là công bội.
Định nghĩa:
- Dãy số (uₙ) là một cấp số nhân khi và chỉ khi uₙ₊₁ = uₙ.q, với n ∈ N*
- q là công bội và được tính bằng công thức: q = uₙ₊₁ / uₙ
Số hạng tổng quát:
Số hạng tổng quát uₙ của cấp số nhân được tính theo công thức:
uₙ = u₁.q^(n-1)
Tính chất của cấp số nhân:
Alt: Công thức tổng quát và các tính chất quan trọng của cấp số nhân và cấp số cộng, bao gồm công thức tính số hạng tổng quát, công bội, công sai và các mối liên hệ giữa các số hạng.
Tổng n số hạng đầu:
Alt: So sánh công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân và cấp số cộng, giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ và áp dụng vào giải bài tập.
Tổng hợp các công thức quan trọng của cấp số nhân
1. Công thức số hạng tổng quát:
uₙ = u₁.q^(n-1) hoặc uₙ = uₘ.q^(n-m)
Ví dụ: Cho cấp số nhân có u₈ = 32 và q = 2. Tính u₅.
Áp dụng công thức: u₅ = u₈ / q^(8-5) = 32 / 2³ = 32 / 8 = 4
2. Các công thức suy ra:
- uₙ = u₁.q^(n-1), ∀ n ≥ 2
- uₖ² = uₖ₋₁.uₖ₊₁, ∀ k ≥ 2
3. Tổng n số hạng đầu:
Sₙ = u₁.(1-qⁿ) / (1-q)
Ví dụ: Cho cấp số nhân có u₁ = 2, q = 3. Tính tổng 11 số hạng đầu.
Alt: Bài tập mẫu về cấp số nhân với hình ảnh minh họa công thức và cách áp dụng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán liên quan.
S₁₁ = 2.(1-3¹¹) / (1-3) = 2.(1-177147) / (-2) = 177146
Bài tập áp dụng công thức cấp số nhân uₙ (kèm lời giải)
Bài 1: Tìm số hạng đầu u₁ của cấp số nhân (uₙ), biết:
u₁² + u₂² + u₃² + u₄² = 85
u₁ + u₂ + u₃ + u₄ = 15Giải:
Ta có:
u₁²(1 + q² + q⁴ + q⁶) = 85
u₁(1 + q + q² + q³) = 15=> u₁(q⁴ – 1) / (q – 1) = 15 và u₁²(q⁸ – 1) / (q² – 1) = 85
=> (q⁴ – 1)² / (q – 1)² . (q² – 1) / (q⁸ – 1) = 225/85
=> (q+1) / (q⁴ + 1) = 45/17
Giải phương trình trên ta được q = 2 hoặc q = 1/2.
Với q = 2 => u₁ = 1. Với q = 1/2 => u₁ = 8.
Bài 2: Cho cấp số nhân (uₙ) thỏa mãn:
u₃ = 243u₈
u₄ = 2/27Tìm 5 số hạng đầu của cấp số nhân.
Giải:
Ta có:
u₁q² = 243u₁q⁷
u₁q³ = 2/27=> q⁵ = 1/243 và u₁q³ = 2/27
=> q = 1/3 và u₁ = 2
Vậy 5 số hạng đầu là: 2, 2/3, 2/9, 2/27, 2/81
Bài 3: Cho cấp số nhân (uₙ) thỏa mãn:
u₃ = 243u₈
u₄ = 2/27Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân.
Giải:
Alt: Hướng dẫn giải chi tiết bài tập tính tổng 10 số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, bao gồm công thức áp dụng và các bước tính toán cụ thể.
S₁₀ = u₁.(1 – q¹⁰) / (1 – q) = 2.(1 – (1/3)¹⁰) / (1 – 1/3) = 59048/19683
Bài 4: Cho cấp số nhân thỏa mãn:
u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 11
u₁ + u₅ = 82/11Tính công bội q và số hạng tổng quát uₙ của cấp số nhân.
Giải:
Ta có:
u₁ + u₁q + u₁q² + u₁q³ + u₁q⁴ = 11
u₁ + u₁q⁴ = 82/11=> u₁(1 + q + q² + q³ + q⁴) = 11 và u₁(1 + q⁴) = 82/11
=> (1 + q + q² + q³ + q⁴) / (1 + q⁴) = 11 / (82/11) = 121/82
Giải phương trình trên ta được q = 3 hoặc q = 1/3.
- Với q = 3 => u₁ = 1/11 => uₙ = 3^(n-1) / 11
- Với q = 1/3 => u₁ = 81/11 => uₙ = (81/11) . (1/3)^(n-1)
Hy vọng với những công thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững kiến thức về cấp số nhân và công thức tính số hạng tổng quát uₙ, từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng.
