Công Thức Bất Phương Trình Bậc Hai và Cách Giải Chi Tiết

1. Lý thuyết cơ bản về bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng:

• ax² + bx + c < 0
• ax² + bx + c > 0
• ax² + bx + c ≤ 0
• ax² + bx + c ≥ 0

trong đó a, b, c là các số thực đã cho và a ≠ 0.

Giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c > 0 (hoặc các dạng khác) thực chất là tìm các khoảng giá trị của x mà tại đó tam thức f(x) = ax² + bx + c cùng dấu với hệ số a (khi a > 0) hoặc trái dấu với hệ số a (khi a < 0).

2. Dạng toán: Xét dấu tam thức bậc hai

a. Phương pháp chung:

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực cho trước và a ≠ 0.

Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Cho f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), Δ = b² - 4ac.

• Nếu Δ < 0: f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ.
• Nếu Δ = 0: f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x = -b/2a. Tại điểm này, f(x) = 0.
• Nếu Δ > 0: f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x₁ hoặc x > x₂, trái dấu với hệ số a khi x₁ < x < x₂, trong đó x₁ và x₂ là hai nghiệm phân biệt của f(x) và x₁ < x₂.

Lưu ý: Có thể sử dụng biệt thức thu gọn Δ' = (b')² - ac (với b' = b/2) để thay thế cho Δ.

Bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) trong các trường hợp:

• Δ < 0:

x	-∞ +∞
f(x)	Cùng dấu với hệ số a

• Δ = 0:

| x | -∞ -b/2a +∞ |
| :—- | :———————– | :—- |
| f(x) | Cùng dấu với hệ số a 0 Cùng dấu với hệ số a |

• Δ > 0:

| x | -∞ x₁ x₂ +∞ |
| :—- | :———————– | :———————– | :———————– |
| f(x) | Cùng dấu với hệ số a 0 Trái dấu với hệ số a 0 Cùng dấu với hệ số a |

Hình ảnh minh họa đồ thị hàm số bậc hai f(x) = ax^2 + bx + c với các trường hợp delta âm, delta bằng 0 và delta dương, thể hiện mối tương quan giữa dấu của tam thức và nghiệm của phương trình.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét dấu tam thức f(x) = -x² - 4x + 5

Lời giải:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x = 1 và x = -5, hệ số a = -1.

• f(x) > 0 khi x ∈ (-5; 1)
• f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; -5) ∪ (1; +∞)

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức f(x) = (3x² - 10x + 3) / (4x - 5)

Lời giải:

Ta có:

• 3x² - 10x + 3 = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = 1/3
• 4x - 5 = 0 ⇔ x = 5/4

Lập bảng xét dấu:

| x | -∞ 1/3 5/4 3 +∞ |
| :———— | :—- | :—- | :—- | :—- |
| 3x² – 10x + 3 | + 0 – | – 0 + |
| 4x – 5 | – | – 0 + | + |
| f(x) | – 0 + || – 0 + |

Dựa vào bảng xét dấu:

• f(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ (-∞; 1/3] ∪ (5/4; 3]
• f(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [1/3; 5/4) ∪ [3; +∞)

3. Dạng toán: Giải và biện luận bất phương trình bậc hai

a. Phương pháp:

Giải và biện luận bất phương trình bậc hai cần xét các trường hợp:

1. Trường hợp 1: Nếu a = 0 (nếu có), bất phương trình trở thành bất phương trình bậc nhất. Giải và biện luận như bất phương trình bậc nhất.
2. Trường hợp 2: Nếu a ≠ 0:
   • Bước 1: Tính Δ (hoặc Δ').
   • Bước 2: Dựa vào dấu của Δ (hoặc Δ') và a, biện luận số nghiệm và dấu của tam thức bậc hai.
   • Bước 3: Kết luận tập nghiệm của bất phương trình theo các trường hợp của tham số.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình x² + 2x + 6m > 0.

Lời giải:

Đặt f(x) = x² + 2x + 6m.

Ta có Δ' = 1 - 6m; a = 1. Xét ba trường hợp:

• Trường hợp 1: Nếu Δ' < 0 ⇔ m > 1/6 ⇒ f(x) > 0 ∀x ∈ ℝ.

  Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ.

• Trường hợp 2: Nếu Δ' = 0 ⇔ m = 1/6 ⇒ f(x) > 0 ∀x ∈ ℝ {-1}.

  Suy ra nghiệm của bất phương trình là S = ℝ {-1}.

• Trường hợp 3: Nếu Δ' > 0 ⇔ m < 1/6.

  Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = -1 - √(1 - 6m) và x₂ = -1 + √(1 - 6m) (dễ thấy x₁ < x₂) ⇒ f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂. Suy ra nghiệm của bất phương trình là S = (-∞; x₁) ∪ (x₂; +∞).

Vậy:

• Với m > 1/6, tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ.
• Với m = 1/6, tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ {-1}.
• Với m < 1/6, tập nghiệm của bất phương trình là S = (-∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) với x₁ = -1 - √(1 - 6m) và x₂ = -1 + √(1 - 6m).

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình (1/2)x² + (2m + 3)x + m ≤ 0.

Lời giải:

Đặt f(x) = (1/2)x² + (2m + 3)x + m, ta có a = 1/2 và Δ' = (m + 3/2)² - (1/2)*m = m² + (5/2)m + 9/4.

Khi đó, ta xét các trường hợp dựa vào dấu của delta phẩy. Việc biện luận dấu của delta phẩy có thể phức tạp và cần xét thêm các trường hợp nhỏ. Trong ví dụ này, việc biện luận trực tiếp các trường hợp nghiệm của phương trình bậc hai có thể đơn giản hơn.

4. Dạng toán: Bất phương trình chứa căn thức

a. Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi tương đương:

• √(f(x)) ≤ g(x) ⇔ f(x) ≥ 0 và g(x) ≥ 0 và f(x) ≤ g²(x)
• √(f(x)) ≥ g(x) ⇔ [g(x) < 0 và f(x) ≥ 0] hoặc [g(x) ≥ 0 và f(x) ≥ g²(x)]

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình √(x² + 2) ≤ x - 1.

Lời giải:

√(x² + 2) ≤ x - 1 ⇔ x - 1 ≥ 0 và x² + 2 ≤ (x - 1)²

⇔ x ≥ 1 và x² + 2 ≤ x² - 2x + 1

⇔ x ≥ 1 và 2x ≤ -1

⇔ x ≥ 1 và x ≤ -1/2 (vô lý).

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình √(x² - 2x - 15) > 2x + 5.

Lời giải:

√(x² - 2x - 15) > 2x + 5 ⇔ [(2x + 5 < 0) và (x² - 2x - 15 ≥ 0)] hoặc [(2x + 5 ≥ 0) và (x² - 2x - 15 > (2x + 5)²)]

⇔ [(x < -5/2) và ((x ≤ -3) hoặc (x ≥ 5))] hoặc [(x ≥ -5/2) và (3x² + 22x + 40 < 0)]

⇔ (x < -5/2) và (x ≤ -3) hoặc (x ≥ -5/2) và (-4 < x < -10/3)

⇔ x ≤ -3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (-∞; -3].

5. Bài tập tự luyện

(Bài tập tự luyện và trắc nghiệm từ bài gốc, giữ nguyên để người đọc tự luyện tập)