Cấp số cộng là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình Toán THPT. Để giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số cộng một cách nhanh chóng và chính xác, việc nắm vững công thức và hiểu rõ về Công Sai D là vô cùng cần thiết.
Công Sai d Là Gì?
Trong một cấp số cộng, công sai d là hiệu giữa hai số hạng liên tiếp bất kỳ. Nói cách khác, để từ một số hạng bất kỳ trong cấp số cộng, ta cộng thêm công sai d để được số hạng tiếp theo.
Ví dụ, trong cấp số cộng 2, 5, 8, 11, …, công sai d = 5 – 2 = 8 – 5 = 3.
Công Thức Liên Quan Đến Công Sai d
-
Số hạng tổng quát: un = u1 + (n-1)d
Trong đó:
- un: Số hạng thứ n
- u1: Số hạng đầu tiên
- n: Vị trí của số hạng
- d: Công sai
Công thức này cho phép ta tính bất kỳ số hạng nào trong cấp số cộng nếu biết số hạng đầu và công sai d.
-
Tổng n số hạng đầu tiên: Sn = n/2 * [2u1 + (n-1)d]
Công thức này giúp ta tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Alt: Công thức tổng quát tìm số hạng đầu và công sai d của cấp số cộng
Phương Pháp Tìm Công Sai d
Để tìm công sai d của một cấp số cộng, ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
-
Sử dụng định nghĩa: Nếu biết hai số hạng liên tiếp, ta chỉ cần lấy số hạng sau trừ đi số hạng trước.
-
Sử dụng công thức số hạng tổng quát: Nếu biết hai số hạng bất kỳ (không nhất thiết liên tiếp), ta có thể thiết lập hệ phương trình và giải để tìm u1 và d.
-
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu: Nếu biết tổng của n số hạng đầu và số hạng đầu, ta có thể giải phương trình để tìm công sai d.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có u1 = -1 và u5 = 11. Tìm công sai d?
Giải:
Ta có: u5 = u1 + 4d
=> 11 = -1 + 4d
=> 4d = 12
=> d = 3
Vậy công sai d của cấp số cộng là 3.
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) có u1 = −2 và công sai d = 3. Hỏi có bao nhiêu số hạng của cấp số thỏa mãn un < 20?
Giải:
Ta có: un = u1 + (n-1)d = -2 + 3(n-1) = 3n – 5
Để un < 20, ta có:
3n – 5 < 20
=> 3n < 25
=> n < 25/3 ≈ 8.33
Vì n là số nguyên dương nên n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Vậy có 8 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn điều kiện.
Alt: Minh họa điều kiện un nhỏ hơn 20 trong cấp số cộng
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng (un) có u3 = −15 và u14 = 18. Tìm u1 và công sai d của cấp số cộng?
Giải:
Ta có hệ phương trình:
u3 = u1 + 2d = -15
u14 = u1 + 13d = 18
Giải hệ phương trình này, ta được: u1 = -21 và d = 3.
Bài Tập Vận Dụng
- Cho cấp số cộng có u2 = 5 và u4 = 9. Tìm công sai d và số hạng đầu u1.
- Cho cấp số cộng (un) có u1 = 3 và công sai d = 2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên.
- Tìm công sai d của cấp số cộng biết u1 + u5 = 10 và u2 + u6 = 14.
Mẹo Giải Nhanh Bài Tập Về Công Sai d
- Nhận diện dạng bài: Xác định rõ bài toán yêu cầu tìm công sai d, số hạng đầu hay một số hạng nào đó của cấp số cộng.
- Lựa chọn công thức phù hợp: Chọn công thức liên quan đến công sai d và các yếu tố đã biết trong bài toán.
- Biến đổi và giải phương trình: Sử dụng các kỹ năng đại số để biến đổi và giải phương trình tìm công sai d.
- Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tìm được công sai d, hãy kiểm tra lại bằng cách thay vào các công thức đã sử dụng để đảm bảo tính chính xác.
Kết Luận
Nắm vững định nghĩa, công thức và phương pháp tìm công sai d là chìa khóa để giải quyết các bài toán về cấp số cộng một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về công sai d và áp dụng thành công vào việc giải bài tập. Chúc các bạn học tốt!
Alt: Hình ảnh hệ phương trình để tìm số hạng đầu u1 và công sai d