Công Bội Cấp Số Nhân: Định Nghĩa, Công Thức và Bài Tập Chi Tiết

Cấp số nhân là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Để giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số nhân một cách hiệu quả, việc nắm vững công thức tính công bội là điều vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn định nghĩa, công thức và các ví dụ minh họa chi tiết về công bội của cấp số nhân.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số được gọi là cấp số nhân nếu kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số không đổi q. Số q này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi và chỉ khi tồn tại một số q sao cho u_n+1 = u_n.q với mọi n và q không đổi.

2. Công thức tính công bội

Công bội (q) của cấp số nhân có thể được tính bằng nhiều cách, tùy thuộc vào thông tin đã cho trong bài toán. Dưới đây là một số công thức phổ biến:

• Dựa vào định nghĩa:

  q = u_n+1 / u_n

  Công thức này cho thấy công bội q là tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp bất kỳ trong cấp số nhân.

• Khi biết hai số hạng không liên tiếp:

  Nếu biết u_m và u_n (với m ≠ n), ta có thể tính q bằng công thức:

  q^n-m = u_n / u_m

  Từ đó, suy ra: q = ^n-m√(u_n / u_m)

• Khi biết các dữ kiện khác:

  Trong một số bài toán, đề bài có thể cho các dữ kiện khác liên quan đến các số hạng hoặc tổng của cấp số nhân. Trong trường hợp này, ta thường cần lập hệ phương trình để giải và tìm ra u₁ và q.

3. Ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức trên, chúng ta sẽ xét một số ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u_n = 2.3ⁿ⁺¹. Tìm công bội q.

Lời giải:

Cách 1: Tính trực tiếp từ định nghĩa

Ta có: u_n+1 = 2.3^(n+1)+1 = 2.3ⁿ⁺²

Công bội q được tính như sau:

q = u_n+1 / u_n = (2.3ⁿ⁺²) / (2.3ⁿ⁺¹) = 3

Cách 2: Chọn hai số hạng cụ thể

Chọn n = 1, ta có u₁ = 2.3² = 18

Chọn n = 2, ta có u₂ = 2.3³ = 54

q = u₂ / u₁ = 54 / 18 = 3

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) với u₅ / u₃ = 4. Tìm công bội q.

Lời giải:

Ta có: u₅ = u₁.q⁴ và u₃ = u₁.q²

Do đó: u₅ / u₃ = (u₁.q⁴) / (u₁.q²) = q² = 4

Vậy q = 2 hoặc q = -2.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: u₂ + u₄ = 30 và u₃ + u₅ = 60. Tìm u₁ và q.

Lời giải:

Ta có hệ phương trình:

u₂ + u₄ = u₁.q + u₁.q³ = 30 (1)

u₃ + u₅ = u₁.q² + u₁.q⁴ = 60 (2)

Chia (2) cho (1), ta được: q = 2

Thay q = 2 vào (1), ta có: u₁.2 + u₁.2³ = 30 => 2u₁ + 8u₁ = 30 => 10u₁ = 30 => u₁ = 3

Vậy u₁ = 3 và q = 2.

4. Lưu ý khi giải bài tập

• Luôn kiểm tra xem dãy số đã cho có thực sự là cấp số nhân hay không trước khi áp dụng các công thức.
• Khi giải hệ phương trình, cần chú ý đến các trường hợp đặc biệt (ví dụ: q = 0, q = 1) và kiểm tra lại kết quả.
• Nắm vững các tính chất của cấp số nhân để có thể giải bài toán một cách linh hoạt và hiệu quả nhất.

5. Ứng dụng của công bội trong các bài toán cấp số nhân

Công bội là yếu tố then chốt để xác định và phân tích cấp số nhân. Nó được sử dụng để:

• Tìm các số hạng của cấp số nhân.
• Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
• Giải các bài toán liên quan đến tính chất của cấp số nhân.

Kết luận

Hiểu rõ định nghĩa và công thức tính công bội của cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số nhân. Bằng cách nắm vững các kiến thức và áp dụng chúng một cách linh hoạt, bạn sẽ có thể tự tin chinh phục mọi bài toán về cấp số nhân.