Bài toán sắp xếp chỗ ngồi là một dạng toán tổ hợp thường gặp, đòi hỏi sự tư duy logic và khả năng phân tích các trường hợp khác nhau. Bài viết này sẽ tập trung vào một bài toán cụ thể, trong đó có hai học sinh lớp A và ba học sinh lớp B, cùng với một số học sinh khác. Mục tiêu là tìm ra số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho thỏa mãn một điều kiện nhất định: giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B.
Để giải quyết bài toán này, ta cần chia bài toán thành các trường hợp nhỏ hơn, dễ quản lý hơn. Điểm mấu chốt là nhận ra rằng, giữa hai học sinh lớp A, ta chỉ có thể có học sinh lớp C (hoặc không có học sinh nào).
Trường hợp 1: Hai học sinh lớp A ngồi cạnh nhau (AA).
Trong trường hợp này, chúng ta xem hai học sinh lớp A như một khối duy nhất. Sau đó, ta hoán vị khối AA này với các học sinh còn lại.
Số cách xếp: (Số cách xếp 2 học sinh lớp A cạnh nhau) * (Số cách xếp khối AA và các học sinh còn lại).
Trường hợp 2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C (ACA).
Trong trường hợp này, chúng ta chọn một học sinh lớp C để xen vào giữa hai học sinh lớp A. Sau đó, ta xem khối ACA này như một khối duy nhất và hoán vị nó với các học sinh còn lại.
Trường hợp 3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C (ACCA).
Tương tự như trên, ta chọn hai học sinh lớp C để xen vào giữa hai học sinh lớp A, tạo thành khối ACCA, sau đó hoán vị nó với các học sinh còn lại.
Trường hợp 4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C (ACCCA).
Lặp lại quy trình tương tự: chọn ba học sinh lớp C, tạo khối ACCCA và hoán vị.
Trường hợp 5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C (ACCCCA).
Đây là trường hợp cuối cùng, khi tất cả học sinh lớp C đều ngồi giữa hai học sinh lớp A.
Sau khi tính toán số cách sắp xếp cho từng trường hợp, ta cộng tất cả lại để được kết quả cuối cùng.
Lời giải chi tiết (Ví dụ với 4 học sinh lớp C):
TH1: Hai học sinh lớp A ngồi cạnh nhau.
Số cách xếp: (left( {A_2^2C_8^1} right).left( {A_7^3} right).left( {A_4^4} right) = 80640)
TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C.
Số cách xếp: (left( A_{2}^{2}A_{4}^{1}C_{7}^{1} right).left( A_{6}^{3} right).left( A_{3}^{3} right)=40320)
TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C.
Số cách xếp: (left( A_{2}^{2}A_{4}^{2}C_{6}^{1} right).left( A_{5}^{3} right).left( A_{2}^{2} right)=17280)
TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C.
Số cách xếp: (left( A_{2}^{2}A_{4}^{3}C_{5}^{1} right).left( A_{4}^{3} right).left( A_{1}^{1} right)=5760)
TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C.
Số cách xếp: (left( A_{2}^{2}A_{4}^{4}C_{4}^{1} right).left( A_{3}^{3} right)=1152)
Tổng số cách sắp xếp: 145 152.
Kết luận:
Bài toán sắp xếp chỗ ngồi “có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B” là một ví dụ điển hình cho thấy sự phức tạp của các bài toán tổ hợp. Việc chia nhỏ bài toán thành các trường hợp, kết hợp với việc áp dụng các công thức tổ hợp và hoán vị, giúp chúng ta tìm ra lời giải một cách chính xác. Quan trọng nhất, việc phân tích và hiểu rõ điều kiện ràng buộc (trong trường hợp này là “giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B”) là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán.
