Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định số lượng tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x³ + 2x² song song với đường thẳng y = x. Đây là một dạng bài tập quan trọng trong chương trình giải tích lớp 12, thường xuất hiện trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về ý nghĩa hình học của đạo hàm và điều kiện để hai đường thẳng song song.
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(x₀, f(x₀)). Ký hiệu: f'(x₀) = k, với k là hệ số góc của tiếp tuyến.
2. Điều kiện để hai đường thẳng song song:
Hai đường thẳng y = ax + b và y = cx + d song song với nhau khi và chỉ khi a = c (hệ số góc bằng nhau) và b ≠ d (tung độ gốc khác nhau).
Áp dụng vào bài toán:
Cho hàm số y = -x³ + 2x² và đường thẳng y = x. Ta cần tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng đã cho.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
y’ = -3x² + 4x
Bước 2: Xác định hệ số góc của đường thẳng y = x
Hệ số góc của đường thẳng y = x là 1.
Bước 3: Tìm các điểm mà tại đó tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1
Để tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x, ta cần tìm các giá trị của x sao cho y’ = 1.
-3x² + 4x = 1
<=> -3x² + 4x – 1 = 0
<=> 3x² – 4x + 1 = 0
Giải phương trình bậc hai này, ta được:
x₁ = 1/3
x₂ = 1
Bước 4: Kiểm tra điều kiện tung độ gốc khác nhau
Với mỗi giá trị x tìm được, ta sẽ có một tiếp tuyến. Ta cần kiểm tra xem các tiếp tuyến này có trùng với đường thẳng y = x hay không.
-
Với x₁ = 1/3:
-
y₁ = -(1/3)³ + 2(1/3)² = -1/27 + 2/9 = 5/27
-
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1/3, 5/27) là:
y – 5/27 = 1(x – 1/3)
y = x – 1/3 + 5/27
y = x – 4/27
-
Vì -4/27 ≠ 0 nên tiếp tuyến này không trùng với đường thẳng y = x.
-
-
Với x₂ = 1:
-
y₂ = -(1)³ + 2(1)² = -1 + 2 = 1
-
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1, 1) là:
y – 1 = 1(x – 1)
y = x – 1 + 1
y = x
-
Tiếp tuyến này trùng với đường thẳng y = x, nên không thỏa mãn điều kiện song song.
-
Bước 5: Kết luận
Vậy, chỉ có một tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x³ + 2x² song song với đường thẳng y = x, đó là đường thẳng y = x – 4/27.
Trong bài toán trên, ta đã sử dụng hệ phương trình để tìm giao điểm giữa hai đường thẳng. Hình ảnh dưới đây minh họa cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đại số.
Alt text: Hình ảnh minh họa các bước giải hệ phương trình đại số để tìm giao điểm, chú thích rõ từng bước và biến đổi.
Mở rộng và bài tập tương tự:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử sức với các bài tập tương tự, thay đổi hàm số hoặc đường thẳng cho trước. Ví dụ:
- Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x⁴ – 2x² + 1 song song với đường thẳng y = 8x.
- Cho hàm số y = (2x – 2) / (x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.
Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!
Trong một ví dụ khác về tìm phương trình tiếp tuyến, chúng ta cần tìm đạo hàm của một hàm phân thức.
Alt text: Công thức đạo hàm của hàm phân thức y=(ax+b)/(cx+d), giúp tính nhanh và chính xác hệ số góc của tiếp tuyến.