Bài toán đếm số lượng số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà không có hai chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau là một bài toán tổ hợp thú vị. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích các trường hợp có thể xảy ra dựa trên số lượng chữ số chẵn trong số đó. Gọi số có 6 chữ số cần tìm là (M = overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} ).
Nhận xét quan trọng là trong 6 vị trí ({a_1},,{a_2},,{a_3},,{a_4},,{a_5},,{a_6}), số lượng chữ số chẵn tối đa có thể xuất hiện là 3. Điều này là do hai chữ số chẵn không được đứng cạnh nhau, nên chúng phải được xen kẽ bởi các chữ số lẻ. Chúng ta sẽ xét các trường hợp số M có 1, 2 hoặc 3 chữ số chẵn.
TH1: Số M chỉ chứa 1 chữ số chẵn.
- Trường hợp ({a_1}) chẵn: Chữ số đầu tiên ({a_1}) có 4 cách chọn (2, 4, 6, 8). Các vị trí còn lại ({a_2},,{a_3},,{a_4},,{a_5},,{a_6}) phải là số lẻ. Vì các chữ số phải khác nhau, ta cần chọn 5 chữ số lẻ từ tập {1, 3, 5, 7, 9}. Số cách sắp xếp 5 chữ số lẻ này là 5!. Vậy, số các số trong trường hợp này là: (4.5! = 480).
Alt text: Minh họa số có 6 chữ số, vị trí đầu tiên là số chẵn, các vị trí còn lại là số lẻ, thể hiện trường hợp số M có chữ số đầu tiên là số chẵn.
- Trường hợp ({a_1}) lẻ: Chữ số đầu tiên ({a_1}) có 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9). Chúng ta cần chọn 1 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ (khác với chữ số lẻ đã chọn ở ({a_1})) để xếp vào 5 vị trí còn lại. Số cách chọn và sắp xếp này là (C_5^1C_4^45!) (chọn 1 vị trí cho số chẵn, chọn 4 số lẻ từ 4 số lẻ còn lại, sau đó hoán vị 5 chữ số). Vậy, số các số trong trường hợp này là: (5C_5^1C_4^45! = 3000).
TH2: Số M có chứa 2 chữ số chẵn.
- Trường hợp ({a_1}) chẵn: Chữ số đầu tiên ({a_1}) có 4 cách chọn. Vị trí ({a_2}) là số lẻ nên có 5 cách chọn. Chúng ta cần chọn 1 chữ số chẵn và 3 số lẻ (khác với số đã chọn ở ({a_2})) và xếp chúng vào 4 vị trí còn lại. Số cách thực hiện là (C_4^1C_4^34!). Vậy, số các số trong trường hợp này là: (4.5.C_4^1C_4^34! = 7680).
Alt text: Ví dụ về số có 6 chữ số với 2 chữ số chẵn không liền kề, minh họa trường hợp số M có hai chữ số chẵn.
- Trường hợp (a_1^{}) lẻ: Chữ số đầu tiên (a_1^{}) có 5 cách chọn. Ở các vị trí ({a_2},,{a_3},,{a_4},,{a_5},,{a_6}) có 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ. Ta xem 3 chữ số lẻ tạo thành 4 vách ngăn (kể cả hai đầu). Chọn 2 trong 4 vách ngăn này để đặt 2 chữ số chẵn vào. Sau đó, chọn 2 chữ số chẵn từ 5 chữ số chẵn, chọn 3 chữ số lẻ từ 4 chữ số lẻ còn lại (khác với chữ số lẻ ở (a_1^{})), và hoán vị chúng. Số cách là (C_5^2C_4^2C_4^32!3!). Vậy, số các số trong trường hợp này là: (5C_5^2C_4^2C_4^32!3! = 14400).
TH3: Số M có chứa 3 chữ số chẵn.
- Trường hợp ({a_1}) chẵn: Chữ số đầu tiên ({a_1}) có 4 cách chọn. Vị trí ({a_2}) lẻ nên ({a_2}) có 5 cách chọn. Ở các vị trí (,{a_3},,{a_4},,{a_5},,{a_6}) có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ. Tương tự như trên, ta xem 2 chữ số lẻ tạo thành 3 vách ngăn. Chọn 2 trong 3 vách ngăn này để đặt 2 chữ số chẵn vào. Sau đó, chọn 2 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn còn lại (khác với chữ số đã chọn ở ({a_1})), chọn 2 chữ số lẻ từ 4 chữ số lẻ còn lại (khác với chữ số đã chọn ở ({a_2})), và hoán vị chúng. Số cách là (C_4^22!C_4^2C_3^22!). Vậy, số các số trong trường hợp này là: (4.5C_4^22!C_4^2C_3^22! = 8640).
Alt text: Mô tả số có 6 chữ số với 3 chữ số chẵn không đứng cạnh nhau, minh họa trường hợp số M có ba chữ số chẵn.
- Trường hợp ({a_1}) lẻ: Chữ số đầu tiên ({a_1}) có 5 cách chọn. Ở các vị trí ({a_2},,{a_3},,{a_4},,{a_5},,{a_6}) có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ. Tương tự, 2 chữ số lẻ tạo thành 3 vách ngăn. Chọn 3 chữ số chẵn từ 5 chữ số chẵn để đặt vào 3 vách ngăn này, sau đó chọn 2 chữ số lẻ từ 4 chữ số lẻ còn lại (khác với chữ số lẻ ở ({a_1})) và hoán vị chúng. Số cách là (C_5^33!C_4^22!). Vậy, số các số trong trường hợp này là: (5C_4^23!C_5^32! = 3600).
Kết luận:
Tổng số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, trong đó không có hai chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau là:
(480 + 3000 + 7680 + 14400 + 8640 + 3600 = 37800)
Vậy, có 37800 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
