Bài toán “Có 5 Nam 5 Nữ Xếp Thành Một Hàng Dọc Tính Xác Suất để Nam Nữ đứng Xen Kẽ Nhau” là một ví dụ điển hình trong chương trình xác suất thống kê, thường gặp trong các bài kiểm tra và kỳ thi. Chúng ta sẽ đi sâu vào phân tích bài toán này, đồng thời mở rộng ra các trường hợp tổng quát hơn để hiểu rõ bản chất của vấn đề.
Bài toán cụ thể:
Có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam và nữ đứng xen kẽ nhau.
Lời giải:
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định không gian mẫu và biến cố cần tính xác suất.
-
Không gian mẫu (Ω): Tổng số cách xếp 10 người vào một hàng dọc là 10! (10 giai thừa), tức là 10 x 9 x 8 x … x 1. Đây là số phần tử của không gian mẫu, ký hiệu n(Ω).
-
Biến cố A: Biến cố “nam và nữ đứng xen kẽ nhau”. Để tính số phần tử của biến cố A (n(A)), ta xét hai trường hợp:
-
Trường hợp 1: Nam đứng đầu hàng. Khi đó, thứ tự sẽ là: Nam – Nữ – Nam – Nữ – Nam – Nữ – Nam – Nữ – Nam – Nữ. Có 5! cách xếp 5 nam vào các vị trí của nam và 5! cách xếp 5 nữ vào các vị trí của nữ. Vậy có 5! * 5! cách xếp trong trường hợp này.
-
Trường hợp 2: Nữ đứng đầu hàng. Khi đó, thứ tự sẽ là: Nữ – Nam – Nữ – Nam – Nữ – Nam – Nữ – Nam – Nữ – Nam. Tương tự trường hợp 1, có 5! * 5! cách xếp trong trường hợp này.
Vậy, n(A) = 5! 5! + 5! 5! = 2 (5! 5!)
-
-
Tính xác suất: Xác suất của biến cố A, ký hiệu P(A), được tính bằng công thức:
P(A) = n(A) / n(Ω) = (2 5! 5!) / 10! = (2 120 120) / 3628800 = 28800 / 3628800 = 1/126
Vậy, xác suất để nam và nữ đứng xen kẽ nhau là 1/126.
Alt text: Minh họa 5 nam và 5 nữ đang xếp thành một hàng dọc, mô tả bài toán xác suất về thứ tự xếp hàng.
Mở rộng bài toán:
Bây giờ, chúng ta sẽ mở rộng bài toán này để có cái nhìn tổng quát hơn.
Trường hợp 1: Tổng quát với n nam và n nữ
Nếu có n nam và n nữ xếp thành một hàng dọc, thì xác suất để nam và nữ đứng xen kẽ nhau là bao nhiêu?
Tương tự như trên:
- n(Ω) = (2n)!
- n(A) = 2 (n! n!)
- P(A) = (2 n! n!) / (2n)!
Công thức này cho phép chúng ta tính xác suất cho bất kỳ số lượng nam và nữ bằng nhau nào.
Trường hợp 2: m nam và n nữ (m ≠ n)
Nếu số lượng nam và nữ không bằng nhau (ví dụ: m nam và n nữ, với m > n), thì không thể có trường hợp nam nữ đứng xen kẽ hoàn toàn. Tuy nhiên, chúng ta có thể đặt ra một bài toán khác: Tính xác suất để không có hai người nữ nào đứng cạnh nhau.
Để giải bài toán này, ta có thể làm như sau:
- Xếp m người nam thành một hàng dọc: có m! cách xếp.
- Khi đó, sẽ có m+1 vị trí để xếp n người nữ vào (bao gồm cả hai đầu hàng và các vị trí giữa hai người nam). Số cách chọn n vị trí trong m+1 vị trí là tổ hợp chập n của m+1, ký hiệu C(m+1, n) hoặc m+1Cn.
- Sau khi chọn được n vị trí, ta có n! cách xếp n người nữ vào các vị trí đó.
Vậy, số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: m! C(m+1, n) n!
Xác suất cần tìm là: P = (m! C(m+1, n) n!) / (m+n)!
Alt text: Logo VietJack, minh họa trực quan về việc xếp người vào các vị trí có sẵn trong hàng, liên quan đến bài toán xác suất.
Ví dụ:
Nếu có 6 nam và 4 nữ, tính xác suất để không có hai người nữ nào đứng cạnh nhau.
- m = 6, n = 4
- P = (6! C(7, 4) 4!) / 10! = (720 35 24) / 3628800 = 604800 / 3628800 = 7/42 ≈ 0.1667
Kết luận:
Bài toán “có 5 nam 5 nữ xếp thành một hàng dọc tính xác suất để nam nữ đứng xen kẽ nhau” là một bài toán cơ bản về xác suất, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về không gian mẫu, biến cố và cách tính xác suất. Việc mở rộng bài toán ra các trường hợp tổng quát hơn giúp ta nắm vững bản chất của vấn đề và áp dụng vào các tình huống phức tạp hơn. Việc hiểu rõ và giải quyết thành thạo các bài toán xác suất là rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực, từ khoa học kỹ thuật đến kinh tế và quản lý.
