Bài toán về việc sắp xếp chỗ ngồi cho 4 cặp vợ chồng trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ luôn là một thử thách thú vị, đòi hỏi sự kết hợp giữa tư duy logic và kỹ năng đếm. Chúng ta sẽ đi sâu vào phân tích các trường hợp có thể xảy ra và tìm ra đáp án chính xác nhất.
Trường hợp 1: Xét các cách xếp theo nhóm vợ/chồng
Đầu tiên, ta xét trường hợp 4 người vợ ngồi cạnh nhau.
Alt: Sơ đồ minh họa 4 người vợ ngồi cạnh nhau trên ghế 8 chỗ, thể hiện các vị trí còn lại cho chồng.
Có 4! cách để xếp chỗ cho 4 người vợ. Sau đó, ta xét các vị trí của 4 người chồng:
- Cả 4 người chồng ngồi cạnh nhau: Có 2 cách xếp (VVVVCCCC hoặc CCCCVVVV). Vì mỗi người vợ chỉ được ngồi cạnh chồng mình, ta cần xếp 3 người chồng còn lại (không tính chồng của người vợ ngồi đầu hàng) vào 3! vị trí. Vậy có 4! 2 3! cách xếp.
- 3 người chồng ngồi cạnh nhau: Có 2 cách xếp (CVVVVCCC hoặc CCCVVVVC). Khi đó số cách xếp là 4! 2 2.
- 2 người chồng ngồi cạnh nhau: Có 1 cách xếp (CCVVVVCC). Khi đó số cách xếp là 4! * 2.
Vậy tổng số cách xếp trong trường hợp này là 4! 2 3! + 4! 2 2 + 4! * 2 = 432 cách.
Trường hợp 2: Xét các nhóm 3 người vợ ngồi cạnh nhau
Xét trường hợp có đúng 3 người vợ ngồi cạnh nhau.
Alt: Hình ảnh minh họa 3 người vợ ngồi cạnh nhau trên ghế dài 8 chỗ, các vị trí còn lại dành cho chồng và người vợ còn lại.
Có 4! cách để xếp chỗ cho 4 người vợ vào 4 vị trí (coi 3 người vợ ngồi cạnh nhau là một “khối”). Sau đó, ta xét các vị trí của 4 người chồng:
- 4 người chồng ngồi cạnh nhau: Có 2 cách xếp (VCCCCVVV hoặc VVVCCCCV). Vì mỗi người vợ chỉ được ngồi cạnh chồng mình, ta cần xếp 2 người chồng không ngồi cạnh “khối” vợ. Vậy có 4! 2 2 cách xếp.
- 3 người chồng ngồi cạnh nhau: Có 2 cách xếp (VCCCVVVC hoặc CVVVCCCV). Khi đó số cách xếp là 4! * 2.
- 2 người chồng ngồi cạnh nhau: Có 2 cách xếp (VCCVVVCC hoặc CCVVVCCV). Khi đó số cách xếp là 4! * 2.
Tổng số cách xếp trong trường hợp này là 4! 2 2 + 4! 2 + 4! 2 = 192.
Trường hợp 3: Xét các nhóm 2 người vợ ngồi cạnh nhau
Xét trường hợp có đúng 2 người vợ ngồi cạnh nhau.
Alt: Mô tả trực quan hai người vợ ngồi cạnh nhau trên ghế 8 chỗ, vị trí còn lại cho chồng và các bà vợ khác.
Có 4! cách để xếp chỗ cho 4 người vợ. Sau đó, ta xét các vị trí của 4 người chồng:
- 4 người chồng ngồi cạnh nhau: Có 1 cách xếp (VVCCCCVV). Vì mỗi người vợ chỉ được ngồi cạnh chồng mình, ta cần xếp 2 người chồng không ngồi cạnh “khối” vợ. Vậy có 4! * 2 cách xếp.
- 3 người chồng ngồi cạnh nhau: Có 2 cách xếp (VVCCCVVC hoặc CVVCCCVV). Khi đó số cách xếp là 4! * 2.
- 2 người chồng ngồi cạnh nhau: Có 4 cách xếp (CVVCCVVC hoặc VVCCVVCC hoặc CCVVCCVV hoặc VCCVVCCV). Khi đó số cách xếp là 4! * 4.
Tổng số cách xếp trong trường hợp này là 4! 2 + 4! 2 + 4! * 4 = 192.
Kết luận
Tổng số cách xếp 4 cặp vợ chồng lên chiếc ghế dài 8 chỗ sao cho các điều kiện trên được thỏa mãn là:
432 + 192 + 192 = 816 cách.
