Bài toán sắp xếp Có 2 Học Sinh Lớp A 3 Học Sinh Lớp B Và 4 Học Sinh Lớp C là một dạng bài toán tổ hợp thường gặp. Điểm mấu chốt để giải quyết các bài toán này là phân tích các trường hợp có thể xảy ra và áp dụng các quy tắc đếm một cách chính xác.
Trong trường hợp này, yêu cầu đặc biệt là giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Điều này có nghĩa là giữa hai học sinh lớp A chỉ có thể có học sinh lớp C, hoặc không có học sinh nào.
Trường hợp 1: Hai học sinh lớp A ngồi cạnh nhau (AA).
- Bước 1: Coi hai học sinh lớp A như một khối duy nhất (AA). Có 2! = 2 cách sắp xếp hai học sinh lớp A trong khối này.
- Bước 2: Sắp xếp khối (AA) cùng với 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C. Tổng cộng có 1 + 3 + 4 = 8 phần tử cần sắp xếp. Số cách sắp xếp là một hoán vị của 8 phần tử.
Alt: Sơ đồ minh họa trường hợp 1, hai học sinh lớp A ngồi cạnh nhau, ký hiệu AA, và vị trí cho các học sinh lớp B và C.
Trường hợp 2: Giữa hai học sinh lớp A có 1 học sinh lớp C (ACA).
- Bước 1: Chọn 1 trong 4 học sinh lớp C để xếp giữa 2 học sinh lớp A. Có 4 cách chọn. Sau đó, sắp xếp 2 học sinh lớp A, có 2! = 2 cách. Vậy có 4 * 2 = 8 cách tạo thành nhóm (ACA).
- Bước 2: Sắp xếp nhóm (ACA) cùng với 3 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C còn lại. Tổng cộng có 1 + 3 + 3 = 7 phần tử cần sắp xếp.
Trường hợp 3: Giữa hai học sinh lớp A có 2 học sinh lớp C (ACCA).
- Bước 1: Chọn 2 trong 4 học sinh lớp C để xếp giữa 2 học sinh lớp A. Có A(4,2) = 4!/(4-2)! = 12 cách chọn và sắp xếp. Tuy nhiên vì thứ tự C1 và C2 khác C2 và C1 nên số cách chọn là 43 =12 cách chọn 2 học sinh lớp C và A22 =2! cách xếp 2 học sinh lớp A nên có 122=24 cách tạo thành nhóm (ACCA).
- Bước 2: Sắp xếp nhóm (ACCA) cùng với 3 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C còn lại. Tổng cộng có 1 + 3 + 2 = 6 phần tử cần sắp xếp.
Trường hợp 4: Giữa hai học sinh lớp A có 3 học sinh lớp C (ACCCA).
Alt: Hình ảnh mô tả trường hợp 4, có 3 học sinh lớp C xen kẽ giữa 2 học sinh lớp A, tạo thành nhóm A-C-C-C-A.
- Bước 1: Chọn 3 trong 4 học sinh lớp C để xếp giữa 2 học sinh lớp A. Có A(4,3) = 4!/(4-3)! = 24 cách chọn và sắp xếp.Sau đó, sắp xếp 2 học sinh lớp A, có 2! = 2 cách. Vậy có 24 * 2 = 48 cách tạo thành nhóm (ACCCA).
- Bước 2: Sắp xếp nhóm (ACCCA) cùng với 3 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C còn lại. Tổng cộng có 1 + 3 + 1 = 5 phần tử cần sắp xếp.
Trường hợp 5: Giữa hai học sinh lớp A có 4 học sinh lớp C (ACCCCA).
- Bước 1: Chọn 4 trong 4 học sinh lớp C để xếp giữa 2 học sinh lớp A. Có A(4,4) = 4! = 24 cách chọn và sắp xếp. Sau đó, sắp xếp 2 học sinh lớp A, có 2! = 2 cách. Vậy có 24 * 2 = 48 cách tạo thành nhóm (ACCCCA).
- Bước 2: Sắp xếp nhóm (ACCCCA) cùng với 3 học sinh lớp B. Tổng cộng có 1 + 3 = 4 phần tử cần sắp xếp.
Để có kết quả cuối cùng, cần tính toán cụ thể số cách sắp xếp cho mỗi trường hợp và cộng chúng lại. Đây là một ví dụ điển hình về bài toán tổ hợp, đòi hỏi sự tỉ mỉ và chính xác trong từng bước giải.
