Chứng Minh Tứ Giác Nội Tiếp là một trong những dạng toán hình học quan trọng trong chương trình lớp 9 và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm để nắm vững kiến thức về tứ giác nội tiếp.
A. Các Dấu Hiệu Nhận Biết Tứ Giác Nội Tiếp
Để chứng minh một tứ giác là nội tiếp, bạn có thể sử dụng một trong các dấu hiệu sau:
- Tổng hai góc đối bằng 180 độ: Nếu tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ, thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.
- Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện: Nếu góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác bằng góc trong của đỉnh đối diện, thì tứ giác đó nội tiếp.
- Bốn đỉnh cách đều một điểm: Nếu bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm, thì tứ giác đó nội tiếp. Điểm này chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới một góc α: Nếu hai đỉnh kề nhau của tứ giác cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau (góc α), thì tứ giác đó nội tiếp.
- Các trường hợp đặc biệt: Hình chữ nhật, hình vuông và hình thang cân luôn là các tứ giác nội tiếp.
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Tính số đo các góc của tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, biết góc A = 80 độ và góc B = 70 độ.
Alt: Hình ảnh minh họa tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, góc A 80 độ, góc B 70 độ
Hướng dẫn giải:
Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên:
Góc C = 180° – Góc A = 180° – 80° = 100°
Góc D = 180° – Góc B = 180° – 70° = 110°
Vậy, góc A = 80°, góc B = 70°, góc C = 100° và góc D = 110°.
Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh các tứ giác EBOM và DCMO nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn đó.
Alt: Sơ đồ chứng minh tứ giác EBOM và DCMO nội tiếp, AB và AC là tiếp tuyến
Hướng dẫn giải:
-
Chứng minh tứ giác EBOM nội tiếp:
- OM ⊥ ME (gt) => Góc EMO = 90°
- OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) => Góc EBO = 90°
=> Góc EMO + Góc EBO = 180°
Vậy tứ giác EBOM nội tiếp trong đường tròn đường kính OE. Tâm đường tròn này là trung điểm của OE.
-
Chứng minh tứ giác DCMO nội tiếp:
- OM ⊥ DM (gt) => Góc DMO = 90°
- OC ⊥ CD (CD là tiếp tuyến của (O)) => Góc DCO = 90°
=> Góc DMO + Góc DCO = 180°
Vậy tứ giác DCMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OD. Tâm đường tròn này là trung điểm của OD.
Ví dụ 3: Qua điểm B nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm). Từ B vẽ cát tuyến BMN (M nằm giữa B và N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO), gọi H là giao điểm của BO và CD.
a. Chứng minh BM.BN = BH.BO.
b. Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp.
Alt: Hình vẽ minh họa chứng minh BM.BN = BH.BO và tứ giác OHMN nội tiếp
Hướng dẫn giải:
a. Chứng minh BM.BN = BH.BO:
* Xét ΔBMC và ΔBCN, ta có:
* Góc B chung
* Góc BCM = Góc BNC (cùng chắn cung MC)
* => ΔBMC đồng dạng ΔBCN (g-g)
* => BM/BC = BC/BN => BM.BN = BC²
* Do BO là đường trung trực của CD => BO ⊥ CD tại H.
* Xét ΔBCO vuông tại C, đường cao CH: BC² = BH.BO (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
* Vậy BM.BN = BH.BOb. Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp:
* Từ BM.BN = BH.BO => BM/BO = BH/BN
* Xét ΔBMH và ΔBON, ta có:
* Góc B chung
* BM/BO = BH/BN
* => ΔBMH đồng dạng ΔBON (c-g-c)
* => Góc BHM = Góc BNO
* => Tứ giác OHMN nội tiếp (hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh).C. Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện
Câu 1: Cho hình vẽ, biết góc BEC = 50°. Khẳng định nào sau đây SAI?
Alt: Bài tập trắc nghiệm về tứ giác nội tiếp, góc BEC 50 độ
A. Góc ADC = 50°
B. Góc ABC + Góc ADC = 180°
C. Góc BCE = Góc DAE
D. Góc ABC = 50°
Câu 2: Phát biểu nào sau đây sai?
A. Tứ giác nội tiếp có 4 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.
B. Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
C. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng hai góc bất kì bằng 180°.
D. Hình chữ nhật luôn nội tiếp đường tròn.
Câu 3: Số đo góc A trong hình vẽ là:
Alt: Tìm góc A trong tứ giác nội tiếp ABCD
A. 60°
B. 80°
C. 100°
D. 120°
(Đáp án và giải thích chi tiết cho các câu trắc nghiệm sẽ được cung cấp sau)
Lời kết:
Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên các dạng bài tập về chứng minh tứ giác nội tiếp sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán hình học. Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!