Chứng Minh Tam Giác Nội Tiếp Đường Tròn Lớp 9: Phương Pháp và Bài Tập

A. Khái niệm và tính chất cơ bản

1. Đường tròn ngoại tiếp: Một đường tròn được gọi là ngoại tiếp một đa giác nếu nó đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó. Khi đó, đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn.

2. Đường tròn nội tiếp: Một đường tròn được gọi là nội tiếp một đa giác nếu nó tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó. Khi đó, đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

3. Đa giác đều: Bất kỳ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp và một và chỉ một đường tròn nội tiếp. Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của đa giác đều.

B. Các phương pháp chứng minh tam giác nội tiếp đường tròn

Để chứng minh một tam giác nội tiếp được một đường tròn, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

1. Sử dụng định nghĩa: Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác.

2. Sử dụng tính chất góc nội tiếp:

   • Chứng minh rằng ba đỉnh của tam giác cùng cách đều một điểm (điểm này chính là tâm đường tròn ngoại tiếp).
   • Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, từ đó suy ra tâm đường tròn.

3. Sử dụng các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp (nếu có thể mở rộng bài toán):

   • Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, sau đó chỉ ra ba điểm trong số đó là ba đỉnh của tam giác cần xét.

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Nêu cách vẽ tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước. Tính cạnh của tam giác ABC theo R.

Hướng dẫn giải

Để vẽ tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), ta thực hiện các bước sau:

1. Chọn một điểm A bất kỳ trên đường tròn (O; R).
2. Dùng compa, đặt liên tiếp các điểm B và C trên đường tròn sao cho AB = BC = CA.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R).

Tính cạnh của tam giác ABC theo R:

Vì ΔABC đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là trọng tâm của ΔABC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC. Khi đó, ta có:

AO = (2/3)AH

Mà AO = R => AH = (3/2)R

Xét ΔABH vuông tại H, ta có:

AB² = AH² + BH² = ((3/2)R)² + ((√3/2)R)² = 3R²

=> AB = R√3

Vậy cạnh của tam giác ABC là R√3.

Bài 2: Cho đa giác đều n cạnh A₁A₂..A_n có O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đó và a là độ dài cạnh đa giác. Tính bán kính R, r của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp đa giác đó theo a và n.

Hướng dẫn giải

Vì A₁A₂..A_n là đa giác đều và O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác nên O cũng là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đó. Nối OA₁, OA₂ và kẻ OH ⊥ A₁A₂ .

Xét ΔOA₁H vuông tại H có:

sin(∠A₁OH) = A₁H / OA₁ => OA₁ = A₁H / sin(∠A₁OH) = (a/2) / sin(180^o/n)

=> R = a / (2sin(180^o/n))

Lại có: OH = r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác và OH = A₁H. cotg ∠A₁OH = a/2 cotg (180^o/n)

=> r = (a/2) * cot(π/n)

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Trong một tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ở trung điểm cạnh huyền. Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng một nửa độ dài cạnh huyền BC.

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

BC² = AB² + AC² = 5² + 12² = 169

=> BC = 13 cm

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = BC/2 = 13/2 = 6.5 cm.

Bài 4: Cho tam giác ABC có các đường cao là BD, CE. Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D,C cùng nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác BCDE có ∠BEC = 90° và ∠BDC = 90°. Hai đỉnh E và D kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông.

=> Tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tâm của đường tròn này là trung điểm I của BC, và bán kính là BC/2.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn tại M. Tạo đường cao AH. Hãy chứng minh:

a) M là trung điểm của cung BC;

b) AM là tia phân giác của góc OAH.

Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Hạ các đường cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M, N. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A, E, B, D cùng nằm trên một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó;

b) MN // DE;

c) Cho đường tròn (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi.

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung BC không chứa A. Gọi D, E lần lượt đối xứng với M qua AB, AC. Tìm vị trí của M để độ dài đoạn thẳng DE lớn nhất.